Em um torneio como o descrito no exercício anterior, os 16 jogadores têm habilidades diferentes e não há surpresas nos resultados (se A é melhor que B, A vence B ).
Qual é o número máximo de partidas que o décimo melhor jogador consegue disputar? Qual é a probabilidae dele disputar esse número máximo de partidas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um torneio com 16 jogadores, cada um com habilidades diferentes, e sempre quem é melhor ganha. Nosso desafio é descobrir quantas partidas o décimo melhor jogador pode disputar no máximo e qual a chance disso acontecer. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona um torneio de eliminação simples (aquele onde quem perde já está fora) e mexer um pouco com probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura do torneio. Com 16 jogadores em eliminação simples, o número de rodadas necessárias para definir o campeão é log₂16 = 4. Ou seja, temos 4 rodadas: 1ª, 2ª, 3ª e a final. Em cada rodada, metade dos jogadores é eliminada.

Passo 3

Agora, pensando no décimo melhor jogador, ele não é um dos top 8, por isso não está entre os finalistas diretos. Para ele disputar o máximo de partidas possível, ele precisa avançar o máximo que puder antes de ser eliminado pelos jogadores melhores que ele (os 9 primeiros).

Passo 4

Vamos supor que o décimo colocado consiga evitar enfrentar os 9 melhores jogadores até chegar na etapa onde inevitavelmente irá encontrar um deles. Assim, ele poderia disputar até a terceira rodada (semi-final) antes de ser eliminado.

Passo 5

Então, o número máximo de partidas que o décimo melhor jogador pode disputar é 3. Ele vence na primeira e segunda rodadas, e perde na terceira.

Passo 6

Agora, para calcular a probabilidade de ele disputar essas 3 partidas, precisamos considerar como as chaves do torneio são sorteadas. O décimo colocado precisa não enfrentar nenhum dos 9 melhores nas duas primeiras rodadas.
Na primeira rodada, ele tem 15 possíveis adversários, e 7 desses são classificados abaixo dele (já que os 8 melhores, incluindo ele, não se enfrentam nas primeiras partidas). Então, a chance de não enfrentar um dos 9 melhores na primeira rodada é de 7/15.
Na segunda rodada, restam 8 jogadores para ele enfrentar (considerando que os melhores venceram sempre). Dentre esses, 3 são melhores que ele. Então, a chance de não enfrentar um dos 9 melhores na segunda rodada é de 5/7.
Multiplicando as probabilidades: (7/15) * (5/7) = 5/15 = 1/3.

Resposta

O décimo melhor jogador pode disputar no máximo 3 partidas, e a probabilidade dele disputar esse número máximo de partidas é de 1/3 (ou aproximadamente 33,33%).

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