Pro os limites com definição formal
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição formal, que o limite quando $ n $ tende ao infinito de $ \frac{3n + 1}{2n + 5} $ é igual a $ \frac{3}{2} $. A matéria aqui é Cálculo de Limites, especificamente o cálculo de limites no infinito usando definições formais. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento de funções polinomiais e aplicar a definição de limite para sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n + 1}{2n + 5} = \frac{3}{2} $. Isso quer dizer que, à medida que $ n $ fica cada vez maior, o valor de $ \frac{3n + 1}{2n + 5} $ se aproxima cada vez mais de $ \frac{3}{2} $.
Passo 3
Para provar isso formalmente, vamos usar a definição de limite para sequências. Dizemos que $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L $ se, para todo $ \varepsilon > 0 $, existe um número natural $ N $ tal que, para todo $ n > N $, a diferença entre $ a_n $ e $ L $ é menor que $ \varepsilon $. Ou seja, $ |a_n - L| < \varepsilon $.
Passo 4
Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que para todo $ \varepsilon > 0 $, existe um $ N $ tal que:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 6
Queremos que essa fração seja menor que $ \varepsilon $:
Vamos resolver para $ n $:
Passo 7
Então, podemos escolher $ N = \frac{13}{4\varepsilon} - 2.5 $. Assim, para todo $ n > N $, teremos:
Isso confirma, de acordo com a definição formal, que o limite é realmente $ \frac{3}{2} $.
Resposta
Portanto, $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n + 1}{2n + 5} = \frac{3}{2} $.