Pro os limites com definição formal
lim n infty 3 n+12 n+5=32

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição formal, que o limite quando $ n $ tende ao infinito de $ \frac{3n + 1}{2n + 5} $ é igual a $ \frac{3}{2} $. A matéria aqui é Cálculo de Limites, especificamente o cálculo de limites no infinito usando definições formais. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento de funções polinomiais e aplicar a definição de limite para sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que $ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n + 1}{2n + 5} = \frac{3}{2} $. Isso quer dizer que, à medida que $ n $ fica cada vez maior, o valor de $ \frac{3n + 1}{2n + 5} $ se aproxima cada vez mais de $ \frac{3}{2} $.

Passo 3

Para provar isso formalmente, vamos usar a definição de limite para sequências. Dizemos que $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L $ se, para todo $ \varepsilon > 0 $, existe um número natural $ N $ tal que, para todo $ n > N $, a diferença entre $ a_n $ e $ L $ é menor que $ \varepsilon $. Ou seja, $ |a_n - L| < \varepsilon $.

Passo 4

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos mostrar que para todo $ \varepsilon > 0 $, existe um $ N $ tal que:
varepsilon > 0

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
| 3n + 12n + 5 - 32 | = | (3n + 1) cdot 2 - 3 cdot (2n + 5)2(2n + 5) | = | 6n + 2 - 6n - 154n + 10 | = | -134n + 10 | = 134n + 10

Passo 6

Queremos que essa fração seja menor que $ \varepsilon $:
varepsilon
Vamos resolver para $ n $:
134n + 10 < varepsilon

Passo 7

Então, podemos escolher $ N = \frac{13}{4\varepsilon} - 2.5 $. Assim, para todo $ n > N $, teremos:
N = 134varepsilon - 2.5
Isso confirma, de acordo com a definição formal, que o limite é realmente $ \frac{3}{2} $.

Resposta

Portanto, $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n + 1}{2n + 5} = \frac{3}{2} $.

Exercícios relacionados