Prob. 53 (Halliday): Uma corda oscila de acordo com a equação
y^prime=(0,5 cm) sen[(pi3 c m^-1) x] cos [(40 pi s^-1) t]
Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x=1,5 cm para t=(9 / 8) s ? Adicional: (e) Qual é a distância entre um nó e um antinó vizinho. R. (e) 1,5 cm.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda estacionária na corda dada por
y(x,t) = (0,5:cm);sinl[(tfracpi3:cm^-1),xr];cosl[(40pi:s^-1),tr]
O conteúdo envolve superposição de duas ondas harmônicas viajantes de mesma amplitude e frequência, porém sentidos opostos. Para resolver, vamos usar:
– a identificação de amplitude A, número de onda k e frequência angular omega;
– a relação v=omega/k para velocidade de propagação;
– nós em kx=npi;
partial y/partial t para velocidade transversal;
– e lambda=2pi/k para distâncias características.

Passo 2

Comparando com a forma geral y=Asin(kx)cos(omega t), temos
A = 0,5:cm, k = pi3:cm^-1, omega = 40pi:s^-1

Passo 3

A velocidade de cada onda viajante é
v = omegak = 40pi:s^-1tfracpi3:cm^-1 = 120:cm/s = 1,2:m/s

Passo 4

Os nós ocorrem em kx=npi, isto é
xn = npik = npipi/3 = 3n:cm
Logo, a distância entre nós adjacentes é
De<a x = xn+1-xn = 3:cm

Passo 5

A velocidade transversal de uma partícula é
vy = partial ypartial t = -(0,5:cm),sin(kx),omega,sin(omega t)
Em x=1,5:cm temos k x = pi/2Rightarrowsin(kx)=1, e para t=9/8:s
omega t = 40picdot98 = 45pi Longrightarrow sin(omega t)=0
Logo
vy = -(0,5)times1times40pitimes0 = 0

Passo 6

A distância entre um nó e um antinó vizinho é lambda/4. Como lambda = 2pi/k = 6:cm, temos
lambda4 = 1,5:cm

Resposta

(a) 0,5:cm
(b) 120:cm/s (ou 1,2:m/s)
(c) 3:cm
(d) 0:cm/s
(e) 1,5:cm

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