Se X \sim N(10,4), calcule:
(1) P(X<8)=
(2) P(X<10)=
(3) P(8<X<10)=
(4) P(8 leq X leq 10)=
(5) P(X>10)=
(6) P(X>8)=
(7) P(X<8 ou X>10)=

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória \,X\sim N(10,4)\, e pede sete probabilidades:
  1. P(X<8)=
  2. P(X<10)=
  3. P(8<X<10)=
  4. P(8\le X\le 10)=
  5. P(X>10)=
  6. P(X>8)=
  7. P(X<8\\ \text{ou}\\ X>10)=
Informações fornecidas que vamos usar: a média é \mu=10 e a variância é \sigma^{2}=4. Não resolvo nada aqui — só enumerei o que foi pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Primeiro ensinamento importante: para uma normal qualquer é prático passar para a normal padrão (que tem média 0 e desvio padrão 1). A transformação é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma é o desvio padrão. Aqui temos \mu=10 e
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{4}=2.
Explicando com calma: Z mede quantos desvios-padrão X está distante da média. Tabelas (ou calculadora) dão valores da função de distribuição acumulada da normal padrão, denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). Usamos também a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a) e P(Z<-a)=P(Z>a).
Valor que vamos usar da tabela padrão: \Phi(1)=0,8413. Com isso já conseguimos calcular P(Z<-1)=1-\Phi(1)=0,1587. Vou aplicar esses passos explicitamente para cada item.

Passo 3

Calcular P(X<8).
Standardizamos:
P(X<8)=P\!\left(\frac{X-10}{2}<\frac{8-10}{2}\right)=P(Z<-1).
Usando a simetria e a tabela,
P(Z<-1)=1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587.
Logo P(X<8)=0,1587.

Passo 4

Calcular P(X<10).
Standardizamos:
P(X<10)=P\!\left(\frac{X-10}{2}<\frac{10-10}{2}\right)=P(Z<0).
Para a normal padrão, \Phi(0)=0,5. Então
P(X<10)=0,5.

Passo 5

Calcular P(8<X<10).
Evento aberto 8<X<10 é a diferença entre P(X<10) e P(X\le 8). Para variável contínua não faz diferença usar < ou \le. Assim:
P(8<X<10)=P(X<10)-P(X\le 8)=P(X<10)-P(X<8).
Substituindo valores já calculados:
P(8<X<10)=0,5-0,1587=0,3413.

Passo 6

Calcular P(8\le X\le 10).
Como a distribuição é contínua, incluir os extremos não altera a probabilidade:
P(8\le X\le 10)=P(8<X<10)=0,3413.

Passo 7

Calcular P(X>10).
Usamos complementaridade:
P(X>10)=1-P(X\le 10)=1-P(X<10)=1-0,5=0,5.
Também pode-se ver pela simetria: P(X>10)=P(X<10) quando a média é 10.

Passo 8

Calcular P(X>8).
Usamos complementaridade com P(X\le 8)=P(X<8):
P(X>8)=1-P(X\le 8)=1-P(X<8)=1-0,1587=0,8413.

Passo 9

Calcular P(X<8\\ \text{ou}\\ X>10).
Os eventos X<8 e X>10 são disjuntos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), então a probabilidade da união é soma:
P(X<8\\ \text{ou}\\ X>10)=P(X<8)+P(X>10)=0,1587+0,5=0,6587.

Passo 10

Resumo rápido do raciocínio usado (para decorar): sempre transformar X em Z=(X-\mu)/\sigma, usar a tabela da normal padrão ( \Phi) e a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a). Para variáveis contínuas, incluir ou não pontos finais não muda nada. Força aí — você já tem as respostas e a técnica para aplicar em questões parecidas!

Resposta

(1) 0,1587
(2) 0,5
(3) 0,3413
(4) 0,3413
(5) 0,5
(6) 0,8413
(7) 0,6587

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