Acende-se uma lâmpada no instante
. Para
, seja
a probabilidade condicional da lâmpada queimar até o instante
, dado que ficou acesa até o instante
. Suponha que
quando
, onde
não depende de
. (Este limite é chamada taxa de falha da låmpada. Neste exemplo, a taxa de falha,
, é proporcional à idade.)
Uma làmpada está acesa no tempo
. Sempre que a làmpada queimar, é substituida por uma làmpada nova, embora isso não seja feito imediatamente. Suponha que para todo
:
(H1) dado que a làmpada esteja acesa no instante
, a probabilidade dela estar queimada no instante
, dividida por
, converge para
quando
; e
(H2) dado que a làmpada esteja queimada no instante
, a probabilidade dela estar novamente acesa em
, dividida por
, converge para
quando
. (
)
(a) Seja
a probabilidade da làmpada estar acesa no instante
. Ache a equação diferencial satisleta por
.
(b) Resolva a equação diferencial do item (a). Determine
. Esse resultado tem sentido intuitivo?
Uma làmpada está acesa no tempo
(H1) dado que a làmpada esteja acesa no instante
(H2) dado que a làmpada esteja queimada no instante
(a) Seja
(b) Resolva a equação diferencial do item (a). Determine
Passo 1
O enunciado descreve um sistema de duas “situações” para a lâmpada: acesa (On) ou queimada (Off), com transições contínuas no tempo governadas por taxas constantes. Quando está acesa, ela queima com taxa
(H1); quando está queimada, é religada com taxa
(H2). O conteúdo é o de processos de Markov de dois estados e equações diferenciais de balanço de probabilidade.
Passo 2
Seja
. Num pequeno intervalo
,
- a probabilidade de permanecer On é
, - a probabilidade de vir de Off para On é
.
Logo, pela lei total da probabilidade,
Passo 3
Subtraindo
, dividindo por
e fazendo
, obtemos
Reorganizando, fica
Passo 4
Esta é uma EDO linear de coeficientes constantes. O coeficiente de amortecimento é
e o termo forçante é
. A solução geral é
onde o estado estacionário
satisfaz
Como
, a solução completa é
Passo 5
O limite quando
anula o termo exponencial, ficando
Intuitivamente, essa fração é o tempo médio que a lâmpada passa ligada num ciclo de ligar/desligar, igual à taxa de religamento sobre a soma das taxas.
Resposta
A equação diferencial é
Sua solução é
e