Acende-se uma lâmpada no instante t=0. Para t>0, seja Q(t+De<a t mid t) a probabilidade condicional da lâmpada queimar até o instante t+De<a t, dado que ficou acesa até o instante t. Suponha que forall t>0, Q(t+De<a t mid t)De<a t lambda t quando De<a t 0, onde lambda>0 não depende de t. (Este limite é chamada taxa de falha da låmpada. Neste exemplo, a taxa de falha, lambda, é proporcional à idade.)
Uma làmpada está acesa no tempo t=0. Sempre que a làmpada queimar, é substituida por uma làmpada nova, embora isso não seja feito imediatamente. Suponha que para todo t>0 :
(H1) dado que a làmpada esteja acesa no instante t, a probabilidade dela estar queimada no instante t+De<a t, dividida por De<a t, converge para lambda quando De<a t 0; e
(H2) dado que a làmpada esteja queimada no instante t, a probabilidade dela estar novamente acesa em t+De<a t, dividida por De<a i, converge para barzeta quando De<a t 0. ( lambda, barzeta>0 )
(a) Seja P(t) a probabilidade da làmpada estar acesa no instante t, t >= 0. Ache a equação diferencial satisleta por P(t).
(b) Resolva a equação diferencial do item (a). Determine lim t infty P(t). Esse resultado tem sentido intuitivo?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de duas “situações” para a lâmpada: acesa (On) ou queimada (Off), com transições contínuas no tempo governadas por taxas constantes. Quando está acesa, ela queima com taxa lambda (H1); quando está queimada, é religada com taxa barzeta (H2). O conteúdo é o de processos de Markov de dois estados e equações diferenciais de balanço de probabilidade.

Passo 2

Seja P(t)=Prlâmpada On em tâ. Num pequeno intervalo De<a t,
  • a probabilidade de permanecer On é 1-lambda,De<a t+o(De<a t),
  • a probabilidade de vir de Off para On é barzeta,De<a t+o(De<a t).
    Logo, pela lei total da probabilidade,
P(t+De<a t)approx P(t)l(1-lambda,De<a tr)+(1-P(t))l(barzeta,De<a tr)

Passo 3

Subtraindo P(t), dividindo por De<a t e fazendo De<a tto0, obtemos
P(t+De<a t)-P(t)De<a t ;longrightarrow; P'(t) ;=;-,lambda,P(t)+barzeta,l(1-P(t)r)
Reorganizando, fica
boxedP'(t)+(lambda+barzeta),P(t)=barzeta

Passo 4

Esta é uma EDO linear de coeficientes constantes. O coeficiente de amortecimento é lambda+barzeta e o termo forçante é barzeta. A solução geral é
P(t) = Prm eq + l(P(0)-Prm eqr)e^-(lambda+barzeta)t,
onde o estado estacionário Prm eq satisfaz
(lambda+barzeta),Prm eq=barzeta Longrightarrow Prm eq=barzetalambda+barzeta
Como P(0)=1, a solução completa é
boxedP(t) = barzetalambda+barzeta + l(1-barzetalambda+barzetar)e^-(lambda+barzeta)t = barzetalambda+barzeta +lambdalambda+barzeta,e^-(lambda+barzeta)t

Passo 5

O limite quando ttoinfty anula o termo exponencial, ficando
limttoinftyP(t)=barzetalambda+barzeta
Intuitivamente, essa fração é o tempo médio que a lâmpada passa ligada num ciclo de ligar/desligar, igual à taxa de religamento sobre a soma das taxas.

Resposta

A equação diferencial é
P'(t)+(lambda+barzeta),P(t)=barzeta, P(0)=1
Sua solução é
P(t)=barzetalambda+barzeta +lambdalambda+barzeta,e^-(lambda+barzeta)t,
e
limttoinftyP(t)=barzetalambda+barzeta

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