Uma caixa tem 4 bolas, cada uma com uma das letras a, b, c e d. Uma bola será escolhida ao acaso e são definidos os eventos E_{1}=\{a, b\}, E_{2}=\{a, c\} e E_{3}=\{a, d\}. Verifique que esses eventos são independentes dois a dois, mas não são independentes (isto é, totalmente independentes).

Passo 1

O enunciado descreve a experiência de escolher uma bola ao acaso de uma caixa com quatro bolas identificadas pelas letras a, b, c e d. Definem-se os eventos
E_1 = \{a,b\},\quad E_2 = \{a,c\},\quad E_3 = \{a,d\}.
Precisamos usar a definição de independência: dois eventos E e F são independentes se
P(E\cap F)=P(E)\,P(F),
e três eventos são totalmente independentes se além de todos os pares serem independentes, vale
P(E_1\cap E_2\cap E_3)=P(E_1)\,P(E_2)\,P(E_3).

Passo 2

Cada bola tem probabilidade \tfrac14. Como \lvert E_i\rvert=2 para i=1,2,3,
P(E_i)=\frac{\lvert E_i\rvert}{4}=\frac{2}{4}=\frac12.

Passo 3

Para cada par i\neq j notamos
E_i\cap E_j=\{a\},
logo
P(E_i\cap E_j)=\frac{1}{4}.

Passo 4

Verificando a independência dois a dois, para todo par (i,j) com i\neq j:
P(E_i)\,P(E_j)=\frac12\cdot\frac12=\frac14 = P(E_i\cap E_j),
logo os eventos são independentes dois a dois.

Passo 5

A interseção tripla é
E_1\cap E_2\cap E_3=\{a\}, \quad P(E_1\cap E_2\cap E_3)=\frac14,
porém
P(E_1)\,P(E_2)\,P(E_3)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18\neq\frac14.
Logo não se satisfaz a condição de independência total.

Resposta

Os eventos E_1, E_2 e E_3 são independentes dois a dois, mas não são independentes de forma total.

Exercícios de Livros Relacionados