Um cavalo tem probabilidade p de saltar um obstáculo. De cinco tentativas ele conseguiu saltar em 3, qual é a probabilidade condicional da primeira tentativa ter sido bem sucedida?

Passo 1

O enunciado considera cinco ensaios independentes de Bernoulli com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Sabe-se que houve exatamente 3 sucessos em 5 tentativas, e queremos a probabilidade condicional de que a primeira tenha sido bem-sucedida dado esse total de 3 sucessos. O conteúdo principal é probabilidade condicional e distribuição binomial.

Passo 2

Defina os eventos
A =\{\text{primeira tentativa é sucesso}\} B =\{\text{total de sucessos em 5 tentativas é 3}\}éé
pela definição
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

Passo 3

Calcule P(A\cap B) e P(B) usando a distribuição binomial:
Para A\cap B é necessário sucesso no primeiro ensaio e exatamente 2 sucessos nos 4 ensaios restantes, logo
P(A \cap B) = p \;\bigl[\binom{4}{2}p^2(1-p)^2\bigr] = \binom{4}{2}\,p^3(1-p)^2.
Para B são 3 sucessos em 5 ensaios, logo
P(B) = \binom{5}{3}p^3(1-p)^2.

Passo 4

Fazendo a divisão em P(A\mid B) cancelam-se p^3(1-p)^2 e sobra
P(A \mid B) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{5}{3}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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