Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
a. Sendo A e B independentes então P(A \cap B) é sempre positiva.
b. Não existe um evento A tal que P(A) \times P(\bar{A})=3 / 4.
c. Se P(A \cap B)=0 então P(A) \times P(B)=0.
d. Se P(A)=1 / 4 e P(B)=1 / 3 então P(A \cap B) \leq 1 / 12.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras, justificando cada resposta. O conteúdo envolve noções básicas de probabilidade: independência de eventos, produto de probabilidades, complementar de um evento e desigualdades gerais para P(A\cap B).

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Sendo A e B independentes então P(A\cap B) é sempre positiva.”
Se A e B são independentes, vale
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Mas pode acontecer, por exemplo, que P(A)=0 (ou P(B)=0), caso em que P(A\cap B)=0. Logo não é garantido que P(A\cap B)>0.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Não existe um evento A tal que P(A)\times P(\bar A)=3/4.”
Se p=P(A), então P(\bar A)=1-p e a condição seria
p\,(1-p)=\tfrac{3}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad p^2 - p + \tfrac{3}{4}=0.
O discriminante dessa equação é
\Delta = (-1)^2 -4\cdot1\cdot\tfrac{3}{4}=1-3=-2<0,
ou seja, não há solução real, muito menos em [0,1]. Logo não existe probabilidade p satisfazendo a condição.
Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Se P(A\cap B)=0 então P(A)\times P(B)=0.”
A condição P(A\cap B)=0 significa simplesmente que A e B são disjuntos, mas não impõe independência. Podemos ter, por exemplo, P(A)=P(B)=1/2 e escolher A\cap B=\emptyset, dando P(A\cap B)=0 e ao mesmo tempo P(A)\,P(B)=1/4\neq0.
Portanto, a afirmação (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (d): “Se P(A)=1/4 e P(B)=1/3 então P(A\cap B)\leq1/12.”
Sem hipótese de independência, a única desigualdade geral é
P(A\cap B)\le\min\{P(A),P(B)\}=\min\{\tfrac14,\tfrac13\}=\tfrac14,
que é bem maior que \tfrac1{12}. O valor \tfrac1{12} aparece apenas se A e B forem independentes. Como a afirmação não assume independência, não podemos garantir P(A\cap B)\le1/12.
Portanto, a afirmação (d) é falsa.

Resposta

a. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa

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