Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
a. Sendo
e
independentes então
é sempre positiva.
b. Não existe um evento
tal que
.
c. Se
então
.
d. Se
e
então
.
a. Sendo
b. Não existe um evento
c. Se
d. Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras, justificando cada resposta. O conteúdo envolve noções básicas de probabilidade: independência de eventos, produto de probabilidades, complementar de um evento e desigualdades gerais para
.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Sendo
e
independentes então
é sempre positiva.”
Se e
são independentes, vale
Se
Mas pode acontecer, por exemplo, que
(ou
), caso em que
. Logo não é garantido que
.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.
Portanto, a afirmação (a) é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Não existe um evento
tal que
.”
Se , então
e a condição seria
Se
O discriminante dessa equação é
ou seja, não há solução real, muito menos em
. Logo não existe probabilidade
satisfazendo a condição.
Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.
Portanto, a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Se
então
.”
A condição significa simplesmente que
e
são disjuntos, mas não impõe independência. Podemos ter, por exemplo,
e escolher
, dando
e ao mesmo tempo
.
Portanto, a afirmação (c) é falsa.
A condição
Portanto, a afirmação (c) é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação (d): “Se
e
então
.”
Sem hipótese de independência, a única desigualdade geral é
Sem hipótese de independência, a única desigualdade geral é
que é bem maior que
. O valor
aparece apenas se
e
forem independentes. Como a afirmação não assume independência, não podemos garantir
.
Portanto, a afirmação (d) é falsa.
Portanto, a afirmação (d) é falsa.
Resposta
a. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa
b. Verdadeira
c. Falsa
d. Falsa