Determine p para que C21^p seja máximo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de p que maximiza o coeficiente binomial binom21p. Trata-se de usar a definição de combinação e a monotonicidade dos binomiais, observando onde a sequência binom210,binom211,dots,binom2121 cresce e onde decresce.

Passo 2

Vamos comparar termos consecutivos por meio da razão
binom21pbinom21p-1
Usando binom21p=21!p!(21-p)!, temos
binom21pbinom21p-1 =21!p!(21-p)!21!(p-1)!(22-p)! =(p-1)!,(22-p)!p!,(21-p)! =22-pp

Passo 3

A sequência binom21p é crescente enquanto essa razão for >=1. Logo,
22-pp>=1 Long<=ftrightarrow 22-p>= p Long<=ftrightarrow p<=11
Para p<11 a razão é >1 (cresce), para p>11 é <1 (decresce) e em p=11 vale exatamente 1, o que implica
binom2111=binom2110

Passo 4

Portanto a sequência cresce até p=11 e depois decresce, com um platô de valor máximo em p=10 e p=11.

Resposta

p=10 ou p=11.

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