Calcule a variância da variável aleatória X, sob as seguintes condições:
X sim U[a, b], onde a<b.

Passo 1

O enunciado pede a variância de X quando Xsim U[a,b] (distribuição uniforme contínua em [a,b]). Para isso, vamos usar a definição
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2
e calcular E[X] e E[X^2] a partir da densidade
f(x)=1b-a, a<= x<= b

Passo 2

Calcular E[X]:
E[X] =integrala^b x,f(x),dx =1b-aintegrala^b x,dx =1b-a[x^22]a^b =b^2 - a^22(b-a) =a+b2

Passo 3

Calcular E[X^2]:
E[X^2] =integrala^b x^2,f(x),dx =1b-aintegrala^b x^2,dx =1b-a[x^33]a^b =b^3 - a^33(b-a) =a^2 + a b + b^23

Passo 4

Usar Var(X)=E[X^2] - (E[X])^2:
Var(X) =a^2 + a b + b^23 -l(a+b2r)^2 =a^2 + a b + b^23 -a^2 + 2a b + b^24 =4(a^2+ab+b^2)-3(a^2+2ab+b^2)12 =b^2 - 2ab + a^212 =(b-a)^212

Resposta

Var(X)=(b-a)^212

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