Se
e
são variáveis aleatórias independentes com variâncias finitas, demonstre que
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a fórmula de variância para o produto de duas variáveis aleatórias independentes
e
. O conteúdo principal é usar a definição
e a propriedade de independência que diz que, se
e
são independentes, então
.
Passo 2
Primeiro calculamos
. Pela independência,
Então
Passo 3
Agora calculamos
. De novo, pela independência,
Passo 4
Aplicando a definição de variância em
,
Agora note que
Substituindo e expandindo o produto, obtemos