Se X e Y são variáveis aleatórias independentes com variâncias finitas, demonstre que
Var(X Y)=Var(X) Var(Y)+(E X)^2 Var(Y)+(E Y)^2 Var(X)

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove a fórmula de variância para o produto de duas variáveis aleatórias independentes X e Y. O conteúdo principal é usar a definição
Var(Z)=El(Z^2r)-l(E[Z]r)^2
e a propriedade de independência que diz que, se X e Y são independentes, então E[f(X),g(Y)]=E[f(X)],E[g(Y)].

Passo 2

Primeiro calculamos E[XY]. Pela independência,
E[XY]=E[X],E[Y]
Então
l(E[XY]r)^2=l(E[X],E[Y]r)^2

Passo 3

Agora calculamos El((XY)^2r)=El(X^2Y^2r). De novo, pela independência,
El(X^2Y^2r)=El(X^2r),El(Y^2r)

Passo 4

Aplicando a definição de variância em Z=XY,
Var(XY) =El((XY)^2r)-l(E[XY]r)^2 =El(X^2r),El(Y^2r)-l(E[X],E[Y]r)^2
Agora note que
El(X^2r)=Var(X)+l(E[X]r)^2, El(Y^2r)=Var(Y)+l(E[Y]r)^2
Substituindo e expandindo o produto, obtemos
Var(XY) =l(Var(X)+E[X]^2r)l(Var(Y)+E[Y]^2r) -E[X]^2E[Y]^2,
Var(XY) =Var(X),Var(Y) +E[X]^2,Var(Y) +E[Y]^2,Var(X)

Resposta

Var(XY)=Var(X),Var(Y) +(E[X])^2,Var(Y) +(E[Y])^2,Var(X)

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