Dois jogadores lançam moedas simultaneamente até obterem o primeiro casamento (i.e., ou duas caras ou duas coroas). Se os dois lançam “cara” simultaneamente, ganha o jogador 1 ; se ambos lançam “coroa”, ganha o jogador II. Por exemplo, se os dois obtêm “cara” no primeiro lançamento, então o jogo termina e o jogador I ganha o jogo. Suponha que a moeda do jogador I seja honesta, mas que a moeda do outro não necessariamente o seja, tendo probabilidade
de “cara”,
.
(a) Calcule a esperança do número de lançamentos (i.e, o número de vezes que o jogador I lançă a moeda até terminar o jogo).
(b) Ache a probabilidade do jogador I ganhar o jogo (mais cedo ou mais tarde).
(a) Calcule a esperança do número de lançamentos (i.e, o número de vezes que o jogador I lançă a moeda até terminar o jogo).
(b) Ache a probabilidade do jogador I ganhar o jogo (mais cedo ou mais tarde).
Passo 1
O enunciado diz que em cada rodada ambos lançam suas moedas simultaneamente até aparecer o primeiro “casamento” (ou seja, os dois dão cara ou os dois dão coroa). Se houver dois caras, o jogador I ganha; se houver duas coroas, o jogador II ganha. A moeda do jogador I é justa e a do jogador II dá cara com probabilidade
. Precisamos calcular
- (a) a esperança do número de lançamentos
até o jogo acabar, - (b) a probabilidade de o jogador I ganhar.
Passo 2
Vamos achar as probabilidades num único lançamento. Chamemos de “match” o evento de casamento.
Então
e
Passo 3
O número de lançamentos
até o primeiro match segue uma distribuição geométrica de parâmetro
isto é,
Para uma geométrica com parâmetro
,
Passo 4
Agora, para achar a probabilidade de vitória do jogador I, note que ele só vence se o match for HH. Assim
Passo 5
Essa soma é geométrica com razão
:
Resposta
(a)
(b)
(b)