Dois jogadores lançam moedas simultaneamente até obterem o primeiro casamento (i.e., ou duas caras ou duas coroas). Se os dois lançam “cara” simultaneamente, ganha o jogador 1 ; se ambos lançam “coroa”, ganha o jogador II. Por exemplo, se os dois obtêm “cara” no primeiro lançamento, então o jogo termina e o jogador I ganha o jogo. Suponha que a moeda do jogador I seja honesta, mas que a moeda do outro não necessariamente o seja, tendo probabilidade p de “cara”, 0<p<1.
(a) Calcule a esperança do número de lançamentos (i.e, o número de vezes que o jogador I lançă a moeda até terminar o jogo).
(b) Ache a probabilidade do jogador I ganhar o jogo (mais cedo ou mais tarde).

Passo 1

O enunciado diz que em cada rodada ambos lançam suas moedas simultaneamente até aparecer o primeiro “casamento” (ou seja, os dois dão cara ou os dois dão coroa). Se houver dois caras, o jogador I ganha; se houver duas coroas, o jogador II ganha. A moeda do jogador I é justa e a do jogador II dá cara com probabilidade p. Precisamos calcular
  • (a) a esperança do número de lançamentos N até o jogo acabar,
  • (b) a probabilidade de o jogador I ganhar.

Passo 2

Vamos achar as probabilidades num único lançamento. Chamemos de “match” o evento de casamento.
P(HH) = P(I:H),P(II:H) = tfrac12cdot p = tfrac p2,
P(TT) = P(I:T),P(II:T) = tfrac12cdot(1-p) = tfrac1-p2
Então
P(match) = P(HH) + P(TT) = p2 + 1-p2 = 12,
e
P(no match) = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 3

O número de lançamentos N até o primeiro match segue uma distribuição geométrica de parâmetro
q = P(match) = tfrac12,
isto é,
P(N=k) = (1-q)^k-1q = l(tfrac12r)^k-1!tfrac12
Para uma geométrica com parâmetro q,
E[N] = 1q = 11/2 = 2

Passo 4

Agora, para achar a probabilidade de vitória do jogador I, note que ele só vence se o match for HH. Assim
P(I vence) = sumk=1^infty P(N=k e HH no k) = sumk=1^infty (1-q)^k-1, p2 = sumk=1^infty l(tfrac12r)^k-1! p2

Passo 5

Essa soma é geométrica com razão 1/2:
P(I vence) = p2 sumn=0^infty l(tfrac12r)^n = p2cdot11-tfrac12 = p2cdot2 = p

Resposta

(a) E[N]=2
(b) P(Jogador I ganha)=p

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