Exiba um exemplo de uma sequência tal que
, com
e
finitas, mas
. (Sugestão. Seja
e defina
.)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de variáveis aleatórias
tais que
para todo
, com
e
finitos, mas
. O ponto chave é construir
que “concentra” massa cada vez mais alta num intervalo de probabilidade pequena, de modo que a convergência pontual ocorra, mas as expectativas não caiam.
Passo 2
Escolhemos o espaço de probabilidade
equipado com a medida de Lebesgue
. Definimos a sequência
onde
é a função indicadora do conjunto
. Ou seja,
se
e
caso contrário.
Passo 3
Mostramos a convergência pontual. Seja
. Como
, existe
tal que para todo
temos
. Então, para
,
Logo
para todo
. Definimos então
para todo
, e obtivemos
pontualmente.
Passo 4
Calculamos as expectativas. Para cada
,
E para
,
Passo 5
Concluímos que todas as expectativas são finitas (
e
), porém
Resposta
Um exemplo é
com
de Lebesgue e
Nesse caso
para todo
,
,
e
.