Exiba um exemplo de uma sequência tal que Xn(omega) X(omega) forall omega in Omega, com E X e E Xn finitas, mas E Xn nrightarrow E X. (Sugestão. Seja Y sim U[0,1] e defina Xn=n I(0<gamma<1 ; n.)

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de variáveis aleatórias Xn tais que Xn(omega)to X(omega) para todo omegainOmega, com E[Xn] e E[X] finitos, mas E[Xn]notto E[X]. O ponto chave é construir Xn que “concentra” massa cada vez mais alta num intervalo de probabilidade pequena, de modo que a convergência pontual ocorra, mas as expectativas não caiam.

Passo 2

Escolhemos o espaço de probabilidade Omega=(0,1] equipado com a medida de Lebesgue P. Definimos a sequência
Xn(omega) ;=; n,10<omega<1/n,
onde 1A é a função indicadora do conjunto A. Ou seja, Xn(omega)=n se omegain(0,1/n) e Xn(omega)=0 caso contrário.

Passo 3

Mostramos a convergência pontual. Seja omegain(0,1]. Como omega>0, existe N tal que para todo n>= N temos 1/n<omega. Então, para n>= N,
omeganotin(0,1/n) Longrightarrow Xn(omega)=0
Logo Xn(omega)to 0 para todo omega. Definimos então X(omega)=0 para todo omega, e obtivemos Xnto X pontualmente.

Passo 4

Calculamos as expectativas. Para cada n,
E[Xn] =integral0^1 n,10<omega<1/n,domega =ncdot P(0<omega<1/n) =ncdot1n =1
E para Xequiv0,
E[X]=integral0^10,domega=0

Passo 5

Concluímos que todas as expectativas são finitas ( E[Xn]=1 e E[X]=0), porém
E[Xn]=1notlongrightarrow 0=E[X]

Resposta

Um exemplo é Omega=(0,1] com P de Lebesgue e
Xn(omega)=n,10<omega<1/n, X(omega)=0
Nesse caso Xn(omega)to X(omega) para todo omega, E[Xn]=1, E[X]=0 e E[Xn]notto E[X].

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