Numa classe há 7 homens e 5 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas:
(a) sem restrições?
(b) se da comissão fazem parte 3 homens e 2 mulheres?
(c) se da comissão fazem parte pelo menos 1 homem e pelo menos 1 mulher?

Passo 1

O enunciado diz que há 7 homens e 5 mulheres, totalizando 12 pessoas, e queremos formar comissões de 5 pessoas. O conteúdo é combinação simples sem repetição, em que a fórmula geral é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 2

(a) Sem restrições, escolhemos 5 dentre as 12 pessoas, portanto
\binom{12}{5}=792.

Passo 3

(b) Com exatamente 3 homens e 2 mulheres, escolhemos 3 dentre os 7 homens e 2 dentre as 5 mulheres, logo
\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\cdot10=350.

Passo 4

(c) Com pelo menos 1 homem e 1 mulher, usamos o complementar: do total \binom{12}{5}=792 subtraímos as comissões sem homens \binom{5}{5}=1 e sem mulheres \binom{7}{5}=21, obtendo
792-1-21=770.

Resposta

(a) 792
(b) 350
(c) 770

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