Em um experimento \Omega=\{1,2,3,4\} e seja \mathcal{F}=\Omega_{p}. Defina f(\emptyset)=0 e f(\{x\})=x / 4 para todo x \in \Omega. Admitindo que f é aditiva para conjuntos disjuntos, verifique se f é uma probabilidade \operatorname{em} \mathcal{F}.

Passo 1

O enunciado define espaço amostral \Omega=\{1,2,3,4\} e tribo \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega). A função f satisfaz f(\emptyset)=0 e f(\{x\})=x/4. Para verificar se f é probabilidade, precisamos checar os axiomas de não negatividade, aditividade e normalização ( f(\Omega)=1).

Passo 2

Como f é aditiva em conjuntos disjuntos, para qualquer A\subseteq\Omega temos
f(A)=\sum_{x\in A}f(\{x\})=\sum_{x\in A}\frac{x}{4}.
Note que para todo x\in\Omega vale x/4\ge0, logo f(A)\ge0 para todo A. Além disso,
f(\emptyset)=0,
satisfeita por definição.

Passo 3

Calculamos
f(\Omega)=\sum_{x=1}^{4}\frac{x}{4}=\frac{1+2+3+4}{4}=\frac{10}{4}=2,5\neq1.
Como f(\Omega)\neq1, f não satisfaz a condição de normalização e, portanto, não é uma probabilidade em \mathcal{F}.

Resposta

A função f não é uma probabilidade, pois f(\Omega)=2,5\neq1.

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