Considere o seguinte experimento de duas etapas: primeiro, es-colhe-se um ponto x de acoido com a distribuição uniforme em (0,1); depois, escolhe-se um ponto y de acordo com a distribuição uniforme em ( -x, x ). Se o vetor aleatório ( X, Y ) representar o resultado do experimento, qual será a densidade conjunta de X e Y ? A densidade marginal de Y ? A densidade condicional de X dada Y ? (Sugestão. Exercício 14.)

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em duas etapas: primeiro sorteia-se X segundo a distribuição uniforme em (0,1); depois, dado X=x, sorteia-se Y segundo a distribuição uniforme em (-x,x). Precisamos encontrar a densidade conjunta fX,Y(x,y), a densidade marginal fY(y) e a densidade condicional fXmid Y(xmid y). Para isso, vamos usar a regra
fX,Y(x,y)=fX(x),fYmid X(ymid x),
em seguida integrar sobre x para obter fY(y) e, por fim, usar
fXmid Y(xmid y)=fX,Y(x,y)fY(y)

Passo 2

Como X é uniforme em (0,1),
fX(x)=1, 0<x<1
E, dado X=x, Y é uniforme em (-x,x), então
fYmid X(ymid x)=12x, -x<y<x
Logo a densidade conjunta é
fX,Y(x,y)=12x,
válida para 0<x<1 e -x<y<x, e zero caso contrário.

Passo 3

Para obter a densidade marginal de Y, integramos em x. A condição -x<y<x equivale a x>|y|, logo
fY(y)=integral|y|^112x,dx =12integral|y|^1dxx =-12ln|y|,
para -1<y<1. Fora desse intervalo, fY(y)=0.

Passo 4

Aplicando a definição de densidade condicional, para -1<y<1 e |y|<x<1,
fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =tfrac12x-tfrac12ln|y| =1x,(-ln|y|)
Fora do intervalo |y|<x<1 vale zero.

Resposta

Densidade conjunta:
á
Densidade marginal de
Densidade condicional de :
á

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