Considere o seguinte experimento de duas etapas: primeiro, es-colhe-se um ponto
de acoido com a distribuição uniforme em
; depois, escolhe-se um ponto
de acordo com a distribuição uniforme em (
). Se o vetor aleatório (
) representar o resultado do experimento, qual será a densidade conjunta de
e
? A densidade marginal de
? A densidade condicional de
dada
? (Sugestão. Exercício 14.)
Passo 1
O enunciado descreve um experimento em duas etapas: primeiro sorteia-se
segundo a distribuição uniforme em
; depois, dado
, sorteia-se
segundo a distribuição uniforme em
. Precisamos encontrar a densidade conjunta
, a densidade marginal
e a densidade condicional
. Para isso, vamos usar a regra
em seguida integrar sobre
para obter
e, por fim, usar
Passo 2
Como
é uniforme em
,
E, dado
,
é uniforme em
, então
Logo a densidade conjunta é
válida para
e
, e zero caso contrário.
Passo 3
Para obter a densidade marginal de
, integramos em
. A condição
equivale a
, logo
para
. Fora desse intervalo,
.
Passo 4
Aplicando a definição de densidade condicional, para
e
,
Fora do intervalo
vale zero.
Resposta
Densidade conjunta:
Densidade marginal de
:
Densidade condicional de
dado
: