Considere o seguinte experimento de duas etapas: primeiro, es-colhe-se um ponto x de acoido com a distribuição uniforme em (0,1); depois, escolhe-se um ponto y de acordo com a distribuição uniforme em ( -x, x ). Se o vetor aleatório ( X, Y ) representar o resultado do experimento, qual será a densidade conjunta de X e Y ? A densidade marginal de Y ? A densidade condicional de X dada Y ? (Sugestão. Exercício 14.)

Passo 1

O enunciado descreve um experimento em duas etapas: primeiro sorteia-se fX,Y(x,y)=fX(x),fYmid X(ymid x), segundo a distribuição uniforme em fXmid Y(xmid y)=fX,Y(x,y)fY(y) ; depois, dado , sorteia-se segundo a distribuição uniforme em . Precisamos encontrar a densidade conjunta , a densidade marginal e a densidade condicional . Para isso, vamos usar a regra
em seguida integrar sobre para obter e, por fim, usar

Passo 2

Como fX(x)=1, 0 é uniforme em fYmid X(ymid x)=12x, -x,
fX,Y(x,y)=12x,
E, dado , é uniforme em , então
Logo a densidade conjunta é
válida para e , e zero caso contrário.

Passo 3

Para obter a densidade marginal de fY(y)=integral|y|^112x,dx =12integral|y|^1dxx =-12ln|y|, , integramos em . A condição equivale a , logo
para . Fora desse intervalo, .

Passo 4

Aplicando a definição de densidade condicional, para fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =tfrac12x-tfrac12ln|y| =1x,(-ln|y|) e ,
Fora do intervalo vale zero.

Resposta

Densidade conjunta:
fX,Y(x,y)= dfrac12x,&0á
Densidade marginal de fY(y)= -tfrac12ln|y|,&-1:
fXmid Y(xmid y)= dfrac1x,(-ln|y|),&|y|á
Densidade condicional de dado :
á

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