Seja X1, X2, ldots uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tendo distribuição exponencial com média 1i, onde i>0. Para t>0 fixo, seja N=max n >= 0: Sn <= i, onde S0=0 e Sn=sumi=1^n Xi, de modo que N é o índice da última soma parcial menor ou igual a t. Mostre que N tem distribuição de Poisson com média it. (Sugestão. “Mergulhe” a seqüência no processo de Poisson.)

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribuídas X1,X2,dotssim Exp(lambda) (ou seja, cada uma com densidade fX(x)=lambda e^-lambda x e média 1/lambda). Definimos as somas parciais
S0=0, Sn=sumi=1^nXi,
e o contador
N=maxn>=0: Sn<= t
Queremos mostrar que N tem distribuição de Poisson com parâmetro lambda t. O conteúdo principal é reconhecer que esse modelo de somas exponenciais é exatamente o processo de Poisson.

Passo 2

Considere um processo de Poisson M(t)t>=0 de taxa lambda>0. Por definição, M(0)=0, tem incrementos independentes e estacionários, e
Pl(M(t+h)-M(t)=1r)=lambda h+o(h), Pl(M(t+h)-M(t)>=2r)=o(h)

Passo 3

No processo de Poisson de taxa lambda, os tempos de chegada T1<T2<cdots satisfazem
Yk=Tk-Tk-1, T0=0,
onde Yk são iid com distribuição exponencial de parâmetro lambda. Em particular,
P(Yk>x)=e^-lambda x

Passo 4

Basta então identificar Xi=Yi. Dessa forma temos
Sn=Tn,
isto é, Sn é o instante em que ocorre o n-ésimo evento do processo de Poisson. Logo
N=maxn:Sn<= t
é exatamente o número de eventos até o tempo t no processo de Poisson.

Passo 5

É clássico que, para um processo de Poisson de taxa lambda,
Pl(M(t)=kr)=e^-lambda t(lambda t)^kk!, k=0,1,2,dots
Como N=M(t) na nossa construção, concluímos que

Resposta

N tem distribuição de Poisson com parâmetro lambda t, isto é,
P(N=k)=e^-lambda t(lambda t)^kk!, k=0,1,2,dots

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