Seja
uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tendo distribuição exponencial com média
, onde
. Para
fixo, seja
, onde
e
, de modo que
é o índice da última soma parcial menor ou igual a
. Mostre que
tem distribuição de Poisson com média it. (Sugestão. “Mergulhe” a seqüência no processo de Poisson.)
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de variáveis independentes e identicamente distribuídas
(ou seja, cada uma com densidade
e média
). Definimos as somas parciais
e o contador
Queremos mostrar que
tem distribuição de Poisson com parâmetro
. O conteúdo principal é reconhecer que esse modelo de somas exponenciais é exatamente o processo de Poisson.
Passo 2
Considere um processo de Poisson
de taxa
. Por definição,
, tem incrementos independentes e estacionários, e
Passo 3
No processo de Poisson de taxa
, os tempos de chegada
satisfazem
onde
são iid com distribuição exponencial de parâmetro
. Em particular,
Passo 4
Basta então identificar
. Dessa forma temos
isto é,
é o instante em que ocorre o
-ésimo evento do processo de Poisson. Logo
é exatamente o número de eventos até o tempo
no processo de Poisson.
Passo 5
É clássico que, para um processo de Poisson de taxa
,
Como
na nossa construção, concluímos que