Um contador recebe impulsos de duas fontes independentes. A e B. Fonte A gera impulsos conforme um processo de Poisson com parâmetro
, enquanto a fonte B gera impulsos segundo um processo de Poisson com parâmetro
. Suporiha que o contador registre todo impulso gerado pelas duas fontes.
(a) Seja
, o número de impulsos registrados pelo contador até o tempo
. Explique porque
é um processo de Poisson (basta uma explicação intuitiva). Qual o parâmetro?
(b) Qual a probabilidade de que o primeiro impulso registrado seja da fonte A?
(c) Dado que exatamente 100 impulsos foram contados durante a primeira unidade de tempo, qual a distribuição que vocé atribuiria ao número emitido pela fonte
?
(a) Seja
(b) Qual a probabilidade de que o primeiro impulso registrado seja da fonte A?
(c) Dado que exatamente 100 impulsos foram contados durante a primeira unidade de tempo, qual a distribuição que vocé atribuiria ao número emitido pela fonte
Passo 1
O enunciado traz duas fontes independentes de impulsos: a fonte A é um processo de Poisson de taxa
e a fonte B é um processo de Poisson de taxa
. O contador registra todos os impulsos de ambas. Vamos usar três ideias principais:
- A soma de processos de Poisson independentes é um processo de Poisson.
- A memória sem memória dos tempos entre impulsos (exponenciais) permite calcular qual fonte “vence” na corrida pelo primeiro impulso.
- O mecanismo de thinning (seleção aleatória) diz que, dado o total de impulsos num intervalo, a distribuição dos que vieram de A é binomial.
Passo 2
Para ver por que
é um processo de Poisson, note que em cada intervalo pequeno
os eventos de A aparecem com probabilidade
e os de B com probabilidade
. Como são independentes, a probabilidade de qualquer registro em
é
e a chance de dois ou mais no mesmo pedaço é
. Além disso os incrementos em intervalos disjuntos permanecem independentes. Isso caracteriza um processo de Poisson.
Passo 3
O parâmetro (taxa) desse processo soma as taxas das duas fontes, ou seja
Passo 4
O tempo até o primeiro impulso de A é
e o de B é
, independentes. A probabilidade de A vencer a corrida é
Passo 5
Dado que
, o thinning mostra que cada um dos 100 impulsos tem probabilidade
de ter vindo de A, independentemente dos outros. Logo o número de impulsos de A em
é
Resposta
(a)
é Poisson de parâmetro
.
(b)
(c)
(b)
(c)