Um contador recebe impulsos de duas fontes independentes. A e B. Fonte A gera impulsos conforme um processo de Poisson com parâmetro lambda>0, enquanto a fonte B gera impulsos segundo um processo de Poisson com parâmetro xi>0. Suporiha que o contador registre todo impulso gerado pelas duas fontes.
(a) Seja X, o número de impulsos registrados pelo contador até o tempo t, i>0(X0=0). Explique porque Xt: t >= 0 é um processo de Poisson (basta uma explicação intuitiva). Qual o parâmetro?
(b) Qual a probabilidade de que o primeiro impulso registrado seja da fonte A?
(c) Dado que exatamente 100 impulsos foram contados durante a primeira unidade de tempo, qual a distribuição que vocé atribuiria ao número emitido pela fonte A ?

Passo 1

O enunciado traz duas fontes independentes de impulsos: a fonte A é um processo de Poisson de taxa lambda e a fonte B é um processo de Poisson de taxa xi. O contador registra todos os impulsos de ambas. Vamos usar três ideias principais:
  1. A soma de processos de Poisson independentes é um processo de Poisson.
  2. A memória sem memória dos tempos entre impulsos (exponenciais) permite calcular qual fonte “vence” na corrida pelo primeiro impulso.
  3. O mecanismo de thinning (seleção aleatória) diz que, dado o total de impulsos num intervalo, a distribuição dos que vieram de A é binomial.

Passo 2

Para ver por que Xt é um processo de Poisson, note que em cada intervalo pequeno De<a t os eventos de A aparecem com probabilidade lambdaDe<a t+o(De<a t) e os de B com probabilidade xiDe<a t+o(De<a t). Como são independentes, a probabilidade de qualquer registro em De<a t é
(lambdaDe<a t)+(xiDe<a t)+o(De<a t)=(lambda+xi)De<a t+o(De<a t),
e a chance de dois ou mais no mesmo pedaço é o(De<a t). Além disso os incrementos em intervalos disjuntos permanecem independentes. Isso caracteriza um processo de Poisson.

Passo 3

O parâmetro (taxa) desse processo soma as taxas das duas fontes, ou seja
lambdaX=lambda+xi

Passo 4

O tempo até o primeiro impulso de A é TAsim Exp(lambda) e o de B é TBsim Exp(xi), independentes. A probabilidade de A vencer a corrida é
P(TA<TB)=lambdalambda+xi

Passo 5

Dado que X1=100, o thinning mostra que cada um dos 100 impulsos tem probabilidade lambda/(lambda+xi) de ter vindo de A, independentemente dos outros. Logo o número de impulsos de A em [0,1] é
Binomiall(100,tfraclambdalambda+xir)

Resposta

(a) Xt é Poisson de parâmetro lambda+xi.
(b) lambdalambda+xi
(c) Binomiall(100,tfraclambdalambda+xir)

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