Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que E X^2<infty e E Y^2<infty. Demonstre que Cov(X, Y)=Cov(X, E(Y mid X)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Cov(X,Y)=Covl(X,;E(Ymid X)r).
O conteúdo usado será a definição de covariância e a lei da esperança iterada, além da propriedade de mensurabilidade de E(Ymid X).

Passo 2

Pela definição,
Cov(X,Y) ;=; El[X,Yr];-;E[X],E[Y]

Passo 3

Analogamente,
Covl(X,E(Ymid X)r) ;=; El[X,E(Ymid X)r] ;-; E[X],El(E(Ymid X)r)

Passo 4

Como
El(XYmid Xr)=X,El(Ymid Xr),
pela lei da esperança iterada segue
El[X,E(Ymid X)r] =El(E(XYmid X)r) =El[X,Yr]
E também vale a identidade
El(E(Ymid X)r)=E[Y]

Passo 5

Substituindo estes resultados em
Covl(X,E(Ymid X)r), obtemos
Covl(X,E(Ymid X)r) =E[X,Y]-E[X],E[Y] =Cov(X,Y)

Resposta

Cov(X,Y)=Covl(X,E(Ymid X)r)

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