Sejam e variáveis aleatórias em ( ).
(a) Mostre que para e borelianos.
(b) Mostre que se P(Z in B mid X=x) >= 12 para todo x in A, então P(Z in B mid X in A) >= 12.
(c) Sejam X e Y independentes tais que P(Y >= 0) >= 12. Demonstre que P(X+Y >= a mid X >= a) >= 12.
Passo 1
O enunciado trata de probabilidades condicionais em termos de núcleos de probabilidade. Precisamos usar que, para variáveis aleatórias X,Z, existe uma versão regular de
x;mapsto;Pl(Zin Bmid X=xr)
e que
Pl(Zin B,,Xin Amid Xr) =1A(X);Pl(Zin Bmid Xr)
Com isso mostramos (a), depois usamos integração para (b) e, por fim, aplicamos independência em (c).
Passo 2
Queremos ver que, para todo x,
Pl(Zin B,,Xin Amid X=xr) = Pl(Zin Bmid X=xr),&xin A, 0,&xnotin A
Mas por definição de probabilidade condicional sabe-se que