Sejam X e Z variáveis aleatórias em ( Omega, mathscrA, P ).
(a) Mostre que para A e B borelianos.
P(Z in B, X in A mid X=x)=ccP(Z in B mid X=x) & se x in A 0 & se x neq A
(b) Mostre que se P(Z in B mid X=x) >= 12 para todo x in A, então P(Z in B mid X in A) >= 12.
(c) Sejam X e Y independentes tais que P(Y >= 0) >= 12. Demonstre que P(X+Y >= a mid X >= a) >= 12.

Passo 1

O enunciado trata de probabilidades condicionais em termos de núcleos de probabilidade. Precisamos usar que, para variáveis aleatórias X,Z, existe uma versão regular de
x;mapsto;Pl(Zin Bmid X=xr)
e que
Pl(Zin B,,Xin Amid Xr) =1A(X);Pl(Zin Bmid Xr)
Com isso mostramos (a), depois usamos integração para (b) e, por fim, aplicamos independência em (c).

Passo 2

Queremos ver que, para todo x,
Pl(Zin B,,Xin Amid X=xr) = Pl(Zin Bmid X=xr),&xin A, 0,&xnotin A
Mas por definição de probabilidade condicional sabe-se que
Pl(Xin Amid X=xr)=1A(x),
logo, usando a regra do produto para núcleos,
Pl(Zin B,,Xin Amid X=xr) =Pl(Xin Amid X=xr);Pl(Zin Bmid X=xr) =1A(x);Pl(Zin Bmid X=xr),
o que dá exatamente o que se queria.

Passo 3

Suponha que
Pl(Zin Bmid X=xr)>=tfrac12 para todo xin A
Então
Pl(Zin B,,Xin Ar) =integral Pl(Zin B,,Xin Amid X=xr),dPX(x) =integralAPl(Zin Bmid X=xr),dPX(x) >=integralAtfrac12,dPX(x) =tfrac12,P(Xin A)
Dividindo por P(Xin A) vem
Pl(Zin Bmid Xin Ar) =P(Zin B,,Xin A)P(Xin A) >=tfrac12

Passo 4

Sejam X e Y independentes e P(Y>=0)>=tfrac12. Tomemos
Z=X+Y, B=[a,infty), A=[a,infty)
Então, para xin A (isto é, x>= a),
Pl(Zin Bmid X=xr) =Pl(X+Y>= amid X=xr) =Pl(Y>= a-xr) >= P(Y>=0)>=tfrac12,
pois a-x<=0. Aplicando o resultado do Passo 3 com este Z,B,A, segue
Pl(X+Y>= amid X>= ar)>=tfrac12

Resposta

(a)
Pl(Zin B,,Xin Amid X=xr) =1A(x);Pl(Zin Bmid X=xr)
(b)
Pl(Zin Bmid Xin Ar)>=tfrac12
(c)
Pl(X+Y>= amid X>= ar)>=tfrac12

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