Considere X \sim Poisson(2). Defina Y pelo truncamento de X que impede valores superiores a 2 . Assim, Y tem o valor 2 sempre que X \geq 2. Obtenha a função de distribuição de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X\sim\mathrm{Poisson}(2) e define
Y = \min(X,2),
ou seja, Y assume exatamente os valores
Y=0\text{ se }X=0,\quad Y=1\text{ se }X=1,\quad Y=2\text{ se }X\ge2.
O conteúdo envolve distribuição de Poisson e truncamento. Para obter a função de distribuição de Y (isto é, seu CDF), primeiro vamos achar a probabilidade de cada valor de Y (pmf) e depois integrar essas probabilidades.

Passo 2

Calcular a função massa de probabilidade de Y. Usando a pmf de X:
\Pr(X=k)=\frac{2^k e^{-2}}{k!},
temos
\Pr(Y=0)=\Pr(X=0)=\frac{2^0 e^{-2}}{0!}=e^{-2},
\Pr(Y=1)=\Pr(X=1)=\frac{2^1 e^{-2}}{1!}=2e^{-2},
\Pr(Y=2)=\Pr(X\ge2)=1-\Pr(X\le1) =1-\bigl(\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\bigr) =1-(e^{-2}+2e^{-2}) =1-3e^{-2}.

Passo 3

Construir a função de distribuição acumulada F_Y(y)=\Pr(Y\le y). Como Y é discreta em \{0,1,2\}, obtemos:
Para y<0, não há chance de Y\le y, logo
F_Y(y)=0.
Para 0\le y<1, apenas o ponto Y=0 cabe, então
F_Y(y)=\Pr(Y\le y)=\Pr(Y=0)=e^{-2}.
Para 1\le y<2, cabem Y=0 e Y=1, logo
F_Y(y)=\Pr(Y\le1)=\Pr(Y=0)+\Pr(Y=1) =e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}.
Para y\ge2, todos os valores possíveis de Y (0,1,2) estão incluídos, então
F_Y(y)=1.

Resposta

F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y<0,\\\ e^{-2}, & 0\le y<1,\\\\ 3e^{-2}, & 1\le y<2,\\\\ 1, & y\ge2. \end{cases}

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