Mostre ou dê um contra-exemplo:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se duas v.a.
e
que têm a mesma função de distribuição
satisfazem necessariamente
O conteúdo envolvido é a diferença entre igualdade em distribuição (mesma lei) e igualdade quase certa (
com probabilidade 1). Vamos dar um contra-exemplo mostrando que ter a mesma lei não obriga
e
a coincidirem quase sempre.
Passo 2
Escolhemos o espaço de probabilidade
e definimos as v.a.
Ou seja,
é uniforme em
e
é o “espelho” de
.
Passo 3
Calculemos a função de distribuição de
Para
é igual à de
. Logo
Passo 4
Agora verificamos
Como
é contínua em
sob a medida de Lebesgue,
Portanto
Resposta
O enunciado é falso. Um contra-exemplo é
e
em
com medida de Lebesgue: elas têm a mesma F.d.D. mas
.