Mostre ou dê um contra-exemplo:
Se F_{X}(z)=F_{Y}(z), \forall z \in \mathbb{R} então P(X=Y)=1.

Passo 1

O enunciado pergunta se duas v.a. X e Y que têm a mesma função de distribuição
F_X(z)=F_Y(z),\\ \forall z\in\mathbb{R},
satisfazem necessariamente
P(X=Y)=1.
O conteúdo envolvido é a diferença entre igualdade em distribuição (mesma lei) e igualdade quase certa ( X=Y com probabilidade 1). Vamos dar um contra-exemplo mostrando que ter a mesma lei não obriga X e Y a coincidirem quase sempre.

Passo 2

Escolhemos o espaço de probabilidade
(\Omega,\mathcal{F},P)=\bigl([0,1],\mathcal{B}([0,1]),\text{medida de Lebesgue}\bigr)
e definimos as v.a.
X(\omega)=\omega, \quad Y(\omega)=1-\omega, \quad \omega\in[0,1].
Ou seja, X é uniforme em [0,1] e Y é o “espelho” de X.

Passo 3

Calculemos a função de distribuição de X\): \[F_X(z)=P(X\le z)= \begin{cases} 0,&z<0,\\\ z,&0\le z\le1,\\\\ 1,&z>1. \end{cases}
Para Y\] temos \[F_Y(z)=P(Y\le z)=P(1-\omega\le z)=P\bigl(\omega\ge1-z\bigr) = \begin{cases} 0,&z<0,\\\ z,&0\le z\le1,\\\\ 1,&z>1, \end{cases}\] pois a distribuição de \(1-\omega é igual à de \omega. Logo
F_X(z)=F_Y(z) \quad \forall z\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora verificamos
P\bigl(X=Y\bigr) =P\bigl(\omega=1-\omega\bigr) =P\bigl(\omega=\tfrac12\bigr).
Como \omega é contínua em [0,1] sob a medida de Lebesgue,
P\bigl(\omega=\tfrac12\bigr)=0.
Portanto
P(X=Y)=0\neq1.

Resposta

O enunciado é falso. Um contra-exemplo é X(\omega)=\omega e Y(\omega)=1-\omega em [0,1] com medida de Lebesgue: elas têm a mesma F.d.D. mas P(X=Y)=0.

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