Considere o teste de hipótese de H_{0}: \sigma^{2}=7 contra H_{1}: \sigma^{2} \neq 7. Aproxime o valor P para cada um dos seguintes testes estatísticos.
X_{0}^{2}=25,2 e n=20.

Passo 1

O enunciado propõe um teste de hipótese sobre a variância:
H_{0}: \sigma^{2}=7 \quad\text{vs.}\quad H_{1}: \sigma^{2}\neq 7
Temos estatística observada X_{0}^{2}=25{,}2 e tamanho de amostra n=20. O conteúdo é o teste qui-quadrado para variância.

Passo 2

Sob H_{0}, a estatística
X_{0}^{2} \;=\;\frac{(n-1)\,S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}
segue uma distribuição \chi^2 com n-1 graus de liberdade, isto é,
X_{0}^{2}\sim \chi^2_{19}.

Passo 3

Como o teste é bilateral, o valor- P é
P \;=\;2\,\min\bigl\{P(\chi^2_{19}\ge25.2),\,P(\chi^2_{19}\le25.2)\bigr\}.
Como 25{,}2>19, escolhemos o ramo superior e escrevemos
P = 2\,P(\chi^2_{19}\ge25.2).

Passo 4

Para aproximar P(\chi^2_{19}\ge25.2), usamos a transformação de Wilson–Hilferty, que aproxima a \chi^2 por uma normal:
Z \approx \frac{\bigl(\tfrac{25.2}{19}\bigr)^{1/3} - \Bigl(1 - \tfrac{2}{9\cdot19}\Bigr)} {\sqrt{\tfrac{2}{9\cdot19}}} \approx 1{,}02.
Então
P(\chi^2_{19}\ge25.2)\approx 1 - \Phi(1{,}02)\approx 1 - 0.846 = 0.154.

Passo 5

Multiplicando por 2 para o teste bilateral, obtemos
P \approx 2 \times 0.154 = 0.308.

Resposta

P \approx 0{,}31.

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