Para construir uma janela ornamental, um operário precisa de pedaços triangulares de vidro. Ele pretende aproveitar um vidro retangular defeituoso, com 10 bolhas de ar, sendo que não há 3 bolhas alinhadas entre si, nem duas delas com algum vértice do retângulo, ou uma delas com dois vértices do retângulo.
Para evitar bolhas de ar no seu projeto final, ele decidiu cortar os pedaços triangulares com os vértices coincidindo ou com uma bolha de ar, ou com um dos cantos do vidro original.
Quantos pedaços triangulares ele cortou?

Passo 1

Resumindo: temos um vidro retangular cujos 4 vértices e as 10 bolhas de ar formam um conjunto de n=4+10=14 pontos em posição geral (sem três alinhados). O operário vai cortar o vidro de modo que todas as bolhas fiquem exatamente nos vértices dos triângulos, não sobrando nenhuma bolha no interior de qualquer triângulo. Em outras palavras, ele está triangulando esse conjunto de 14 pontos, usando como arestas segmentos que não se cruzam.

Passo 2

Fato conhecido sobre triangulações planas de um conjunto de n pontos em que h deles estão no contorno convexo (sem três colineares): o número de triângulos internos gerados é
T \;=\; 2n \;-\; h \;-\; 2.
Aqui temos n=14 pontos e h=4 vértices no contorno (os cantos do retângulo).

Passo 3

Substituindo em
T \;=\; 2n - h - 2
vemos
T \;=\; 2\cdot14 \;-\; 4 \;-\; 2 \;=\; 28 - 6 \;=\; 22.

Resposta

O operário cortou 22 pedaços triangulares.

Exercícios de Livros Relacionados