Suponha que o número de passas num bolo inglês tenha distribuição de Poisson de paràmetro 60. Um jogador compra un bolo, tira todas as passas uma por uma e reparte as passas entre ele e vocè da seguinte maneira: depois da extração de cada passa ele joga uma moeda equilibrada, dando a passa para você se der cara, comendo ele mesmo a passa se der coroa. Qual a distribuição de número de passas que você recebe? A esperança?
Passo 1
O enunciado diz que o número total de passas
num bolo inglês segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Em seguida, cada passa é distribuída a você ou ao jogador por meio de lançamentos de uma moeda equilibrada (probabilidade
de cair cara). O conteúdo que vamos usar é a propriedade de “thinning” da distribuição de Poisson, que trata de selecionar cada evento com probabilidade
de forma independente.
Passo 2
Pela propriedade de thinning, se
e cada um dos
eventos é mantido com probabilidade
de forma independente, então o número de eventos mantidos
segue
Aqui
e
, logo
Passo 3
A esperança de uma variável com distribuição
é exatamente o parâmetro
. Portanto,
Resposta
A variável “número de passas que você recebe” satisfaz
e