Suponha que o número de passas num bolo inglês tenha distribuição de Poisson de paràmetro 60. Um jogador compra un bolo, tira todas as passas uma por uma e reparte as passas entre ele e vocè da seguinte maneira: depois da extração de cada passa ele joga uma moeda equilibrada, dando a passa para você se der cara, comendo ele mesmo a passa se der coroa. Qual a distribuição de número de passas que você recebe? A esperança?

Passo 1

O enunciado diz que o número total de passas N num bolo inglês segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda=60. Em seguida, cada passa é distribuída a você ou ao jogador por meio de lançamentos de uma moeda equilibrada (probabilidade p=tfrac12 de cair cara). O conteúdo que vamos usar é a propriedade de “thinning” da distribuição de Poisson, que trata de selecionar cada evento com probabilidade p de forma independente.

Passo 2

Pela propriedade de thinning, se
Nsim Poisson(lambda)
e cada um dos N eventos é mantido com probabilidade p de forma independente, então o número de eventos mantidos
X
segue
X sim Poisson(lambda p)
Aqui lambda=60 e p=tfrac12, logo
X sim Poissonl(60 times tfrac12r)=Poisson(30)

Passo 3

A esperança de uma variável com distribuição Poisson(mu) é exatamente o parâmetro mu. Portanto,
E[X]=30

Resposta

A variável “número de passas que você recebe” satisfaz
Xsim Poisson(30),
e
E[X]=30

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