Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que Y tem esperança finita.
(a) Mostre que a variància condicional de Y dada X, como definida no exemplo 14, é a variância da distribuição condicional.
(b) Demonstre que Var Y=E[Var(Y mid X)]+Var[E(Y mid X)], i.e., a variància de Y é a soma da esperança da variância condicional e a variància da esperança condicional. (Para simplificar a demonstração, pode supor que a variancia de Y seja finita.)

Passo 1

O enunciado trata de duas variáveis aleatórias Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2 mid Xr] e Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r) com .
(a) Queremos mostrar que a definição de variância condicional
coincide com a variância da distribuição de condicionada a .
(b) Queremos provar a identidade conhecida como lei da variância total:

Passo 2

Para (a), lembramos que a distribuição condicional de integral (y - m(x))^2,dFYmid X=x(y), dado Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2mid Xr] é descrita por uma medida de probabilidade . A variância dessa distribuição é, por definição,
onde . Por outro lado, a definição geral de variância condicional em termos de esperança é
Pelo conceito de esperança condicional como integral em relação a , essas duas expressões coincidem ponto a ponto para cada valor de . Logo a variância condicional é exatamente a variância da distribuição condicional de dado .

Passo 3

Para (b), começamos pela definição usual de variância de Var(Y) =E[Y^2] - l(E[Y]r)^2 :
E[Y^2] = El[E(Y^2mid X)r], E[Y] = El[E(Ymid X)r]
Aplicamos a propriedade da torre (lei da expectativa iterada) a Var(Y) =El[E(Y^2mid X)r] - l(El[E(Ymid X)r]r)^2 e a :
Portanto

Passo 4

Adicionamos e subtraímos dentro de Var(Y) =El[E(Y^2mid X) - E(Ymid X)^2r] ;+; El[E(Ymid X)^2r] - l(El[E(Ymid X)r]r)^2 o termo Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] ;+; l(El[E(Ymid X)^2r] - l(E[E(Ymid X)]r)^2r) :
Mas pelo item (a) . Assim
O segundo parêntese é exatamente a definição de .

Passo 5

Concluímos, portanto, a lei da variância total:
Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r)

Resposta

(a) A variância condicional
Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2mid Xr]
é exatamente a variância da distribuição condicional de Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r) dado .
(b) A lei da variância total foi demonstrada:

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