Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que Y tem esperança finita.
(a) Mostre que a variància condicional de Y dada X, como definida no exemplo 14, é a variância da distribuição condicional.
(b) Demonstre que Var Y=E[Var(Y mid X)]+Var[E(Y mid X)], i.e., a variància de Y é a soma da esperança da variância condicional e a variància da esperança condicional. (Para simplificar a demonstração, pode supor que a variancia de Y seja finita.)

Passo 1

O enunciado trata de duas variáveis aleatórias X e Y com ,E[|Y|]<infty.
(a) Queremos mostrar que a definição de variância condicional
Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2 mid Xr]
coincide com a variância da distribuição de Y condicionada a X.
(b) Queremos provar a identidade conhecida como lei da variância total:
Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r)

Passo 2

Para (a), lembramos que a distribuição condicional de Y dado X=x é descrita por uma medida de probabilidade FYmid X=x. A variância dessa distribuição é, por definição,
integral (y - m(x))^2,dFYmid X=x(y),
onde m(x)=E(Ymid X=x). Por outro lado, a definição geral de variância condicional em termos de esperança é
Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2mid Xr]
Pelo conceito de esperança condicional como integral em relação a FYmid X, essas duas expressões coincidem ponto a ponto para cada valor de X=x. Logo a variância condicional é exatamente a variância da distribuição condicional de Y dado X.

Passo 3

Para (b), começamos pela definição usual de variância de Y:
Var(Y) =E[Y^2] - l(E[Y]r)^2
Aplicamos a propriedade da torre (lei da expectativa iterada) a Y^2 e a Y:
E[Y^2] = El[E(Y^2mid X)r], E[Y] = El[E(Ymid X)r]
Portanto
Var(Y) =El[E(Y^2mid X)r] - l(El[E(Ymid X)r]r)^2

Passo 4

Adicionamos e subtraímos dentro de E[cdot] o termo E(Ymid X)^2:
Var(Y) =El[E(Y^2mid X) - E(Ymid X)^2r] ;+; El[E(Ymid X)^2r] - l(El[E(Ymid X)r]r)^2
Mas pelo item (a) E(Y^2mid X) - E(Ymid X)^2 = Var(Ymid X). Assim
Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] ;+; l(El[E(Ymid X)^2r] - l(E[E(Ymid X)]r)^2r)
O segundo parêntese é exatamente a definição de Varl(E(Ymid X)r).

Passo 5

Concluímos, portanto, a lei da variância total:
Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r)

Resposta

(a) A variância condicional
Var(Ymid X) =El[(Y - E(Ymid X))^2mid Xr]
é exatamente a variância da distribuição condicional de Y dado X.
(b) A lei da variância total foi demonstrada:
Var(Y) =El[Var(Ymid X)r] +Varl(E(Ymid X)r)

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