Sejam
e
variáveis aleatórias tais que
tem esperança finita.
(a) Mostre que a variància condicional de
dada
, como definida no exemplo 14, é a variância da distribuição condicional.
(b) Demonstre que Var
, i.e., a variància de
é a soma da esperança da variância condicional e a variància da esperança condicional. (Para simplificar a demonstração, pode supor que a variancia de
seja finita.)
(a) Mostre que a variància condicional de
(b) Demonstre que Var
Passo 1
O enunciado trata de duas variáveis aleatórias
e
com
.
(a) Queremos mostrar que a definição de variância condicional
(a) Queremos mostrar que a definição de variância condicional
coincide com a variância da distribuição de
condicionada a
.
(b) Queremos provar a identidade conhecida como lei da variância total:
(b) Queremos provar a identidade conhecida como lei da variância total:
Passo 2
Para (a), lembramos que a distribuição condicional de
dado
é descrita por uma medida de probabilidade
. A variância dessa distribuição é, por definição,
onde
. Por outro lado, a definição geral de variância condicional em termos de esperança é
Pelo conceito de esperança condicional como integral em relação a
, essas duas expressões coincidem ponto a ponto para cada valor de
. Logo a variância condicional é exatamente a variância da distribuição condicional de
dado
.
Passo 3
Para (b), começamos pela definição usual de variância de
:
Aplicamos a propriedade da torre (lei da expectativa iterada) a
e a
:
Portanto
Passo 4
Adicionamos e subtraímos dentro de
o termo
:
Mas pelo item (a)
. Assim
O segundo parêntese é exatamente a definição de
.
Passo 5
Concluímos, portanto, a lei da variância total:
Resposta
(a) A variância condicional
é exatamente a variância da distribuição condicional de
dado
.
(b) A lei da variância total foi demonstrada:
(b) A lei da variância total foi demonstrada: