Duas fontes radioativas, I e II, emitem partículas (independentemente) segundo processos de Poisson com, respectivamente, parâmetros i e xi. Seja Z1 o número total de partículas emitidas até o instante t, para t>0. Dado que Zt=k, onde k>0, qual a probabilidade condicional da última partícula emitida antes do instante 1 ter sido da fonte 1?’ (A resposta é igual à do exercicio 6(b). Um possivel método de verificação: use o exercício 16(e) do Capítulo 1, com An o evento " n partículas emitidas até o instante 1 pela fonte 1^prime prime.)

Passo 1

O enunciado fala de duas fontes independentes, fonte 1 e fonte 2, que emitem partículas segundo processos de Poisson com parâmetros, respectivamente, lambda e xi. Chamamos de Zt o número total de partículas (das duas fontes) emitidas até o tempo t. Precisamos calcular
;P(ú<ima partícula antes de t=1 é da fonte 1mid Z1=k)úíé.
O conteúdo é a propriedade de “thinning” (espalhamento) de processos de Poisson e a caracterização condicional dos rótulos de eventos dado o total.

Passo 2

Sabemos que a soma de dois processos de Poisson independentes, um com taxa lambda e outro com taxa xi, é um processo de Poisson de taxa
lambda+xi. Logo
Z1 = N^(1)1 + N^(2)1 sim Poisson(lambda+xi)
Além disso, pelo princípio de thinning, dos Z1=k eventos totais cada um foi originado da fonte 1 com probabilidade
p = lambdalambda+xi
e da fonte 2 com probabilidade 1-p, de forma independente.

Passo 3

Outra consequência do thinning é que, condicionados a Z1=k, os tempos de chegada dos k eventos são como k pontos i.i.d. uniformes em [0,1] e os rótulos “fonte 1”/“fonte 2” são i.i.d. Bernoulli (p).

Passo 4

Em particular, o rótulo do evento de maior tempo (a última partícula antes de 1) tem exatamente a mesma distribuição Bernoulli (p). Portanto
P(ú<ima partícula é da fonte 1mid Z1=k) = p = lambdalambda+xi úíé

Resposta

lambdalambda+xi

Exercícios de Livros Relacionados