Duas fontes radioativas, I e II, emitem partículas (independentemente) segundo processos de Poisson com, respectivamente, parâmetros
e
. Seja
o número total de partículas emitidas até o instante
, para
. Dado que
, onde
, qual a probabilidade condicional da última partícula emitida antes do instante 1 ter sido da fonte 1?’ (A resposta é igual à do exercicio 6(b). Um possivel método de verificação: use o exercício 16(e) do Capítulo
o evento "
partículas emitidas até o instante 1 pela fonte
.)
Passo 1
O enunciado fala de duas fontes independentes, fonte 1 e fonte 2, que emitem partículas segundo processos de Poisson com parâmetros, respectivamente,
e
. Chamamos de
o número total de partículas (das duas fontes) emitidas até o tempo
. Precisamos calcular
.
O conteúdo é a propriedade de “thinning” (espalhamento) de processos de Poisson e a caracterização condicional dos rótulos de eventos dado o total.
O conteúdo é a propriedade de “thinning” (espalhamento) de processos de Poisson e a caracterização condicional dos rótulos de eventos dado o total.
Passo 2
Sabemos que a soma de dois processos de Poisson independentes, um com taxa
e outro com taxa
, é um processo de Poisson de taxa
. Logo
Além disso, pelo princípio de thinning, dos
eventos totais cada um foi originado da fonte 1 com probabilidade
e da fonte 2 com probabilidade
, de forma independente.
Passo 3
Outra consequência do thinning é que, condicionados a
, os tempos de chegada dos
eventos são como
pontos i.i.d. uniformes em
e os rótulos “fonte 1”/“fonte 2” são i.i.d. Bernoulli
.
Passo 4
Em particular, o rótulo do evento de maior tempo (a última partícula antes de
) tem exatamente a mesma distribuição Bernoulli
. Portanto