Sejam
e
variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição geométrica definida por
onde
. (Observação: esta versão da distribuição geométrica corresponde à distribuição do número de fracassos antes do primeiro sucesso em uma següência de ensaios de Bernoulli.)
(a) Calcule
e
.
(b) Determine a distribuição condicional de
dada
.
(a) Calcule
(b) Determine a distribuição condicional de
Passo 1
O enunciado trata de duas variáveis aleatórias independentes
e
, cada uma com distribuição geométrica
Na parte (a) queremos
e
. Na parte (b) buscamos a distribuição condicional de
dado
. Para isso vamos usar soma de séries geométricas e definição de probabilidade condicional.
Passo 2
Calcular
somando sobre todos os
:
Passo 3
Calcular
como soma dupla para
:
Passo 4
Para a parte (b) note que a soma
tem distribuição
Logo a probabilidade condicional é
Resposta
(a)
e
(b) Para e
,
(b) Para
isto é, distribuição uniforme em
.