Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição geométrica definida por
P(Xi=n)=p(1-p)^n, n=0,1,2 ldots ; i=1,2 ;
onde 0<p<1. (Observação: esta versão da distribuição geométrica corresponde à distribuição do número de fracassos antes do primeiro sucesso em uma següência de ensaios de Bernoulli.)
(a) Calcule P(X1=X2) e P(X1<X2).
(b) Determine a distribuição condicional de X1 dada X1+X2.

Passo 1

O enunciado trata de duas variáveis aleatórias independentes X1 e X2, cada uma com distribuição geométrica
Pl(Xi=nr)=p,(1-p)^n, n=0,1,2,dots,;0<p<1
Na parte (a) queremos P(X1=X2) e P(X1<X2). Na parte (b) buscamos a distribuição condicional de X1 dado X1+X2. Para isso vamos usar soma de séries geométricas e definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Calcular P(X1=X2) somando sobre todos os n>=0:
P(X1=X2) =sumn=0^inftyP(X1=n),P(X2=n) =sumn=0^inftyl[p(1-p)^nr]^2 = p^2sumn=0^infty(1-p)^2n = p^21-(1-p)^2 = p2-p

Passo 3

Calcular P(X1<X2) como soma dupla para m<n:
P(X1<X2) =summ=0^inftysumn=m+1^inftyp(1-p)^m;p(1-p)^n =summ=0^inftyp^2(1-p)^2msumk=1^infty(1-p)^k = p^21-ppsumm=0^infty(1-p)^2m =p(1-p)1-(1-p)^2 =1-p2-p

Passo 4

Para a parte (b) note que a soma S=X1+X2 tem distribuição
P(S=n) =sumk=0^nP(X1=k),P(X2=n-k) =sumk=0^np(1-p)^k;p(1-p)^n-k =(n+1),p^2(1-p)^n
Logo a probabilidade condicional é
P(X1=kmid S=n) =P(X1=k,X2=n-k)P(S=n) =p^2(1-p)^n(n+1),p^2(1-p)^n =1n+1, k=0,1,dots,n

Resposta

(a) P(X1=X2)=dfracp2-p e P(X1<X2)=dfrac1-p2-p
(b) Para n>=0 e 0<= k<= n,
Pl(X1=kmid X1+X2=nr)=1n+1,
isto é, distribuição uniforme em 0,1,dots,n.

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