Dados os conjuntos
\mathbf{U}=\{1,2,3,4,5,6,7,8\} ; A=\{4,2,8\} e B=\{1,2,3\}. Determine:
\bar{A} \times \bar{B}.

Passo 1

O enunciado dá o universo
U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\},
e os subconjuntos
A = \{4,2,8\}, \quad B = \{1,2,3\}.
Pede-se o complemento de A em U, o complemento de B em U e, por fim, o produto cartesiano \bar{A}\times\bar{B}. Vamos usar a definição de complemento e depois a de produto cartesiano.

Passo 2

O complemento de A em U é
\bar{A} = U \setminus A = \{\,x\in U \mid x\notin A\}.
Removendo os elementos de A=\{2,4,8\} de U, obtemos
\bar{A} = \{1,3,5,6,7\}.

Passo 3

O complemento de B em U é
\bar{B} = U \setminus B = \{\,x\in U \mid x\notin B\}.
Removendo os elementos de B=\{1,2,3\} de U, obtemos
\bar{B} = \{4,5,6,7,8\}.

Passo 4

O produto cartesiano \bar{A}\times\bar{B} é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) com x\in\bar{A} e y\in\bar{B}. Assim,
\bar{A}\times\bar{B} = \{(x,y)\mid x\in\{1,3,5,6,7\},\\ y\in\{4,5,6,7,8\}\}.

Resposta

\bar{A}\times\bar{B} = \{(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),\,(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),\\\ \qquad(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8),\,(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(6,8),\\\ \qquad(7,4),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8)\}.

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