Observam-se duas lâmpadas durante suas vidas úteis. Suponha as vidas independentes e exponenciais de parâmetro l. Sejam X o tempo de queima da primeira lámpada a queimar e Y o tempo de queima da segunda a queimar ( X <= Y ).
(a) Qual a distribuição condicional de X dada Y ?
(b) Qual a distribuição de Y dada X ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas lâmpadas com tempos de vida independentes, cada um seguindo a distribuição exponencial de parâmetro lambda. Denotamos esses tempos por T1 e T2. Definimos
X = min(T1,T2), Y = max(T1,T2),
de modo que X<= Y. O que se pede é:
(a) a distribuição condicional de X dado Y;
(b) a distribuição condicional de Y dado X.
Para resolver vamos (i) obter a densidade conjunta de (X,Y) usando estatística de ordem, (ii) calcular as densidades marginais de X e de Y, e (iii) formar as condicionais pela definição
fXmid Y(xmid y) = fX,Y(x,y)fY(y), fYmid X(ymid x) = fX,Y(x,y)fX(x)

Passo 2

Primeiro, a densidade de cada Ti é
fTi(t)=lambda e^-lambda t, t>=0
Para duas variáveis independentes, a densidade conjunta dos dois valores ordenados (X,Y) (primeiro e segundo estatístico de ordem para n=2) é
fX,Y(x,y) =2,fT(x),fT(y) =2,l(lambda e^-lambda xr),l(lambda e^-lambda yr) =2lambda^2e^-lambda(x+y),
válida para 0<= x<= y.

Passo 3

(a) Para achar fXmid Y(xmid y) precisamos de fY(y). Integramos a densidade conjunta em x de 0 a y:
fY(y) =integral0^y2lambda^2e^-lambda(x+y),dx =2lambda^2e^-lambda yintegral0^ye^-lambda xdx =2lambda e^-lambda yl(1-e^-lambda yr)
Logo, para 0<= x<= y,
fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =2lambda^2e^-lambda(x+y)2lambda e^-lambda yl(1-e^-lambda yr) =lambda e^-lambda x1-e^-lambda y
Isto mostra que, dado Y=y, X é uma exponencial truncada em [0,y].

Passo 4

(b) Para achar fYmid X(ymid x) precisamos de fX(x). Integramos a densidade conjunta em y de x a infty:
fX(x) =integralx^infty2lambda^2e^-lambda(x+y),dy =2lambda^2e^-lambda xintegralx^inftye^-lambda ydy =2lambda e^-2lambda x
Então, para y>= x,
fYmid X(ymid x) =fX,Y(x,y)fX(x) =2lambda^2e^-lambda(x+y)2lambda e^-2lambda x =lambda e^-lambda(y-x)
Isso equivale a dizer que, dado X=x, a diferença Y-x é Exp(lambda) (propriedade da falta de memória).

Resposta

(a) Para 0<= x<= y:
fXmid Y(xmid y) =lambda e^-lambda x1-e^-lambda y
(b) Para y>= x:
fYmid X(ymid x) =lambda e^-lambda,(y-x)

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