Observam-se duas lâmpadas durante suas vidas úteis. Suponha as vidas independentes e exponenciais de parâmetro l. Sejam
o tempo de queima da primeira lámpada a queimar e
o tempo de queima da segunda a queimar (
).
(a) Qual a distribuição condicional de
dada
?
(b) Qual a distribuição de
dada
?
(a) Qual a distribuição condicional de
(b) Qual a distribuição de
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos duas lâmpadas com tempos de vida independentes, cada um seguindo a distribuição exponencial de parâmetro
. Denotamos esses tempos por
e
. Definimos
de modo que
. O que se pede é:
(a) a distribuição condicional de dado
;
(b) a distribuição condicional de dado
.
(a) a distribuição condicional de
(b) a distribuição condicional de
Para resolver vamos (i) obter a densidade conjunta de
usando estatística de ordem, (ii) calcular as densidades marginais de
e de
, e (iii) formar as condicionais pela definição
Passo 2
Primeiro, a densidade de cada
é
Para duas variáveis independentes, a densidade conjunta dos dois valores ordenados
(primeiro e segundo estatístico de ordem para
) é
válida para
.
Passo 3
(a) Para achar
precisamos de
. Integramos a densidade conjunta em
de
a
:
Logo, para
,
Isto mostra que, dado
,
é uma exponencial truncada em
.
Passo 4
(b) Para achar
precisamos de
. Integramos a densidade conjunta em
de
a
:
Então, para
,
Isso equivale a dizer que, dado
, a diferença
é
(propriedade da falta de memória).
Resposta
(a) Para
:
(b) Para
: