Demonstre que o vazio é independente de qualquer evento.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o evento vazio \emptyset é independente de qualquer outro evento A. O conteúdo usado será a definição de independência de eventos em probabilidade: dois eventos E e A são independentes se
P(E\cap A)=P(E)\,P(A).

Passo 2

Observe que, para qualquer evento A, vale
\emptyset\cap A = \emptyset.
Logo
P(\emptyset\cap A)=P(\emptyset).

Passo 3

Pela axioma de probabilidade, o evento impossível (vazio) tem probabilidade zero, ou seja,
P(\emptyset)=0.
Portanto
P(\emptyset\cap A)=0.

Passo 4

Agora calculamos o produto das probabilidades:
P(\emptyset)\,P(A)=0\cdot P(A)=0.

Passo 5

Como
P(\emptyset\cap A)=0=P(\emptyset)\,P(A),
atingimos exatamente a condição de independência.

Resposta

O evento vazio \emptyset é independente de qualquer evento A, pois satisfa z
P(\emptyset\cap A)=P(\emptyset)\,P(A).

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