Considere o espaço de probabilidade ( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} ). Seja \mathcal{G}=\{A: A \in \mathcal{F} e P(A)=0 ou 1 \}. Mostre que \mathcal{G} é uma \sigma-álgebra de conjuntos de \Omega.

Passo 1

O enunciado define o espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal F,P) e a família
\mathcal G=\{A\in\mathcal F:P(A)=0\text{ ou }1\}.
Queremos mostrar que \mathcal G é uma \sigma-álgebra, i.e., que satisfaz:
  1. \emptyset,\Omega\in\mathcal G.
  2. A\in\mathcal G implica A^c\in\mathcal G.
  3. Se (A_n)_{n\ge1}\subset\mathcal G então \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal G.

Passo 2

Verificamos os conjuntos extremos. Como \emptyset\in\mathcal F e P(\emptyset)=0, vale \emptyset\in\mathcal G. De modo análogo, \Omega\in\mathcal F e P(\Omega)=1 implicam \Omega\in\mathcal G.

Passo 3

Fechamento sob complemento. Se A\in\mathcal G então P(A)\in\{0,1\}. Como
P(A^c)=1-P(A)\,,
segue P(A^c)\in\{0,1\} e A^c\in\mathcal F. Portanto A^c\in\mathcal G.

Passo 4

Fechamento sob uniões contáveis. Tome (A_n)_{n\ge1}\subset\mathcal G. Para cada n defina
B_n=\bigcup_{i=1}^{n}A_i.
Em cada união finita temos:
  • Se existe i\le n com P(A_i)=1 então P(B_n)=1.
  • Se todos P(A_i)=0 então P(B_n)=0.
    Logo P(B_n)\in\{0,1\} e B_n\in\mathcal G. Como as B_n formam uma sequência crescente, pela continuidade de P de baixo para cima,
P\Bigl(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\Bigr) =\lim_{n\to\infty}P(B_n)
é o limite de valores em \{0,1\}. Se algum A_i tiver P(A_i)=1, então para todo n\ge i vale P(B_n)=1 e o limite é 1. Caso contrário todos P(A_n)=0 e o limite é 0. Assim \bigcup_{n=1}^\infty A_n\in\mathcal G.

Resposta

Ficou demonstrado que \mathcal G contém \emptyset e \Omega, é fechada sob complemento e sob uniões contáveis. Logo \mathcal G é uma \sigma-álgebra de conjuntos em \Omega.

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