Considere o espaço de probabilidade (
). Seja
e
ou 1
. Mostre que
é uma
-álgebra de conjuntos de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço de probabilidade
e a família
.
Queremos mostrar que é uma
-álgebra, i.e., que satisfaz:
Queremos mostrar que
-
. -
implica . - Se
então .
Passo 2
Verificamos os conjuntos extremos. Como
e
, vale
. De modo análogo,
e
implicam
.
Passo 3
Fechamento sob complemento. Se
então
. Como
segue
e
. Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob uniões contáveis. Tome
. Para cada
defina
Em cada união finita temos:
- Se existe
com então . - Se todos
então .
Logoe . Como as formam uma sequência crescente, pela continuidade de de baixo para cima,
é o limite de valores em
. Se algum
tiver
, então para todo
vale
e o limite é
. Caso contrário todos
e o limite é
. Assim
.
Resposta
Ficou demonstrado que
contém
e
, é fechada sob complemento e sob uniões contáveis. Logo
é uma
-álgebra de conjuntos em
.