1. A densidade de X é apresentada, a seguir, determine o valor esperado de 2 X-1.
f_{X}(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}}{3}, & \text { se } 0 \leq x<1 \\ \frac{x}{3}, & \text { se } 1 \leq x<2 \\ \frac{x(3-x)}{3}, & \text { se } 2 \leq x \leq 3 \\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de probabilidade de X por partes e pede o valor esperado de 2X-1. O conteúdo aqui é cálculo de valor esperado para variável contínua e uso da propriedade linearidade:
E[2X-1] = 2E[X] - 1.
Para resolver, precisamos primeiro calcular
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,\mathrm{d}x
dividido nos três intervalos onde f_X é não nula.

Passo 2

Escrevemos E[X] como soma de três integrais, uma em cada intervalo:
E[X] = \int_{0}^{1} x\cdot\frac{x^2}{3}\,\mathrm{d}x + \int_{1}^{2} x\cdot\frac{x}{3}\,\mathrm{d}x + \int_{2}^{3} x\cdot\frac{x(3-x)}{3}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calculamos a primeira integral:
\int_{0}^{1} \frac{x^3}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} x^3\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Passo 4

Calculamos a segunda integral:
\int_{1}^{2} \frac{x^2}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\Bigl[\frac{x^3}{3}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\cdot\frac{7}{3} = \frac{7}{9}.

Passo 5

Calculamos a terceira integral:
\int_{2}^{3} \frac{x^2(3-x)}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\int_{2}^{3} (3x^2 - x^3)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\Bigl[x^3 - \frac{x^4}{4}\Bigr]_{2}^{3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{11}{4} = \frac{11}{12}.

Passo 6

Agora somamos as partes para obter E[X]:
E[X] = \frac{1}{12} + \frac{7}{9} + \frac{11}{12} = \Bigl(\frac{1}{12} + \frac{11}{12}\Bigr) + \frac{7}{9} = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9}.

Passo 7

Usamos a linearidade para achar E[2X-1]:
E[2X-1] = 2E[X] - 1 = 2\cdot\frac{16}{9} - 1 = \frac{32}{9} - \frac{9}{9} = \frac{23}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{9}

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