Dentre as permutações dos 10 dígitos 0,1, \ldots, 9, quantas são aquelas em que o primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito é menor do que 7 ?

Passo 1

O enunciado pede contar as permutações dos dígitos 0 a 9 de modo que o primeiro dígito seja maior que 1 e o último seja menor que 7. Isso é um problema de contagem de permutações com restrições. Para resolver, vamos usar o princípio multiplicativo separando a escolha do primeiro e do último dígitos e depois permutar o resto.

Passo 2

Determinar o número de pares ordenados (i,j) em que i (primeiro dígito) satisfaz i>1 e j (último dígito) satisfaz j<7, com i\neq j.
O conjunto de candidatos para i é \{2,3,4,5,6,7,8,9\} (8 opções) e para j é \{0,1,2,3,4,5,6\} (7 opções). Sem considerar a distinção, temos
8\times7=56
pares, mas devemos remover os casos em que i=j, isto é, valores comuns a \{2,3,4,5,6\} (5 casos). Logo, há
56-5=51
pares válidos.

Passo 3

Para cada um desses 51 pares, restam 8 dígitos distintos para ocupar as posições do 2º ao 9º, que podem ser permutados de 8! maneiras. Pelo princípio multiplicativo, o total é
51 \times 8! = 51 \times 40320 = 2056320.

Resposta

2056320

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