Dentre as permutações dos 10 dígitos
, quantas são aquelas em que o primeiro dígito é maior do que 1 e o último dígito é menor do que 7 ?
Passo 1
O enunciado pede contar as permutações dos dígitos
a
de modo que o primeiro dígito seja maior que
e o último seja menor que
. Isso é um problema de contagem de permutações com restrições. Para resolver, vamos usar o princípio multiplicativo separando a escolha do primeiro e do último dígitos e depois permutar o resto.
Passo 2
Determinar o número de pares ordenados
em que
(primeiro dígito) satisfaz
e
(último dígito) satisfaz
, com
.
O conjunto de candidatos para é
(8 opções) e para
é
(7 opções). Sem considerar a distinção, temos
O conjunto de candidatos para
pares, mas devemos remover os casos em que
, isto é, valores comuns a
(5 casos). Logo, há
pares válidos.
Passo 3
Para cada um desses
pares, restam
dígitos distintos para ocupar as posições do 2º ao 9º, que podem ser permutados de
maneiras. Pelo princípio multiplicativo, o total é