Dentre todos os números de 7 dígitos, quantos possuem exatamente 3 dígitos 9 e os 4 dígitos restantes todos diferentes?

Passo 1

O enunciado pede o número de inteiros de 7 dígitos (ou seja, sem zero à esquerda) que têm exatamente três dígitos iguais a 9 e os outros quatro dígitos todos distintos entre si e distintos de 9. Vamos usar contagem por posições e princípios de contagem de combinações e permutações.

Passo 2

Escolhemos as posições dos três dígitos 9 entre as 7 disponíveis. Isso pode ser feito de
\displaystyle \binom{7}{3} maneiras.

Passo 3

Nas quatro posições restantes, colocaremos dígitos diferentes de 9 e todos distintos entre si. Há 9 dígitos disponíveis (de 0 a 8). Como a ordem importa nos 4 lugares, o total é
P(9,4) = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024.
Portanto, sem ainda preocupar com o “não começar com zero”, o total é
\binom{7}{3} \times P(9,4).

Passo 4

Devemos excluir os casos em que o número começa com zero. Para isso:
  1. Garantimos que a posição 1 não seja um 9, ou seja, escolhemos as 3 posições dos noves dentre as 6 últimas: \binom{6}{3}.
  2. Na posição 1 fixamos o dígito 0. Nas outras 3 posições não-nove (entre as seis restantes) colocamos dígitos distintos de 9 e de 0, ou seja, de 1 a 8, em P(8,3)=8\times7\times6=336 maneiras.
Logo, o total inválido é
\binom{6}{3}\times P(8,3).

Passo 5

Agora calculamos numericamente:
\binom{7}{3}\times P(9,4) =35\times3024 =105840,
\binom{6}{3}\times P(8,3) =20\times336 =6720.
Subtraindo os inválidos:
105840 - 6720 = 99120.

Resposta

99120

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