Dentre todos os números de 7 dígitos, quantos possuem exatamente 3 dígitos 9 e os 4 dígitos restantes todos diferentes?
Passo 1
O enunciado pede o número de inteiros de 7 dígitos (ou seja, sem zero à esquerda) que têm exatamente três dígitos iguais a 9 e os outros quatro dígitos todos distintos entre si e distintos de 9. Vamos usar contagem por posições e princípios de contagem de combinações e permutações.
Passo 2
Escolhemos as posições dos três dígitos 9 entre as 7 disponíveis. Isso pode ser feito de
maneiras.
Passo 3
Nas quatro posições restantes, colocaremos dígitos diferentes de 9 e todos distintos entre si. Há 9 dígitos disponíveis (de 0 a 8). Como a ordem importa nos 4 lugares, o total é
Portanto, sem ainda preocupar com o “não começar com zero”, o total é
Passo 4
Devemos excluir os casos em que o número começa com zero. Para isso:
- Garantimos que a posição 1 não seja um 9, ou seja, escolhemos as 3 posições dos noves dentre as 6 últimas:
. - Na posição 1 fixamos o dígito 0. Nas outras 3 posições não-nove (entre as seis restantes) colocamos dígitos distintos de 9 e de 0, ou seja, de 1 a 8, em
maneiras.
Logo, o total inválido é
Passo 5
Agora calculamos numericamente:
Subtraindo os inválidos: