Determine o valor de n se:
A_{n}^{2}=72;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de n tal que o arranjo de n elementos tomados 2 a 2, denotado por A_{n}^{2}, seja igual a 72. O conteúdo necessário é a definição de arranjos (ou permutações parciais) de n objetos em grupos de tamanho 2.

Passo 2

Pela definição de arranjo, temos
A_{n}^{2} \;=\; \frac{n!}{(n-2)!}.
Portanto, a equação do problema é
\frac{n!}{(n-2)!} \;=\; 72.

Passo 3

Note que
\frac{n!}{(n-2)!} =\;n\,(n-1)\,(n-2)! \;/\;(n-2)! =\;n\,(n-1).
Assim, reduzimos o problema a
n\,(n-1) \;=\; 72.

Passo 4

Escrevendo como equação do 2º grau, temos
n^{2} - n - 72 = 0.
Para resolvê-la, calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289.

Passo 5

As raízes são
n = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}.
Isso dá as soluções
n = \frac{1+17}{2} = 9 \quad\text{ou}\quad n = \frac{1-17}{2} = -8.
Como n representa número de elementos, deve ser inteiro não-negativo, logo
n = 9.

Resposta

9

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