De quantas maneiras 5 A 's e 7 B 's podem ser alinhados se 2 A 's não podem ficar adjacentes?

Passo 1

O enunciado pede o número de sequências formadas por cinco \!A e sete \!B em que nunca apareçam dois \!A adjacentes.
Conteúdo: arranjos com repetição sujeitos à restrição “sem duas letras A juntas”.
Ferramenta principal: método dos espaços (gaps) para evitar adjacências.

Passo 2

Primeiro, vamos “colocar” as sete letras B em linha. Como elas são indistinguíveis, consideramos apenas o padrão
B \quad B \quad B \quad B \quad B \quad B \quad B.
Em torno dessas 7 letras surgem 7+1=8 “gaps” (vagas) onde podemos inserir as letras A para garantir que elas nunca fiquem lado a lado:
\_ \; B \; \_ \; B \; \_ \; B \; \_ \; B \; \_ \; B \; \_ \; B \; \_ \; B \; \_.

Passo 3

Para impedir duas A juntas, em cada gap podemos colocar no máximo uma letra A. Como precisamos colocar exatamente 5 letras A, isso equivale a escolher 5 dos 8 gaps disponíveis.

Passo 4

O número de maneiras de escolher 5 gaps dentre 8 é dado pelo binomial
\binom{8}{5}.
Calculando,
\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!\,3!} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1} = 56.

Resposta

56

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