Dois componentes eletrônicos vão ser testados simultaneamente. Suponha que a “vida” em horas de cada componente é exponencialmente distribuída com parâmetro i, e que as vidas dos componentes são independentes. Calcule:
(a) A esperança do tempo até a primeira falha de um dos componentes.
(b) A esperança do tempo até ambos os componentes falharem.

Passo 1

O enunciado diz que as vidas X1 e X2 dos dois componentes são independentes e cada uma tem distribuição exponencial com parâmetro lambdai ( i=1,2). Precisamos calcular a esperança do tempo até a primeira falha, que é min(X1,X2), e a esperança do tempo até ambas falharem, que é max(X1,X2). Vamos usar a propriedade de ordem de variáveis exponenciais e linearidade da esperança.

Passo 2

Seja T1=min(X1,X2). A função de sobrevivência de T1 é
P(T1>t)=P(X1>t,;X2>t)=e^-lambda1 t,e^-lambda2 t=e^-(lambda1+lambda2)t
Logo T1 é exponencial com parâmetro lambda1+lambda2.

Passo 3

Para uma variável exponencial com parâmetro mu, vale E[Exp(mu)]=1/mu. Assim,
E[T1]=1lambda1+lambda2

Passo 4

Seja T2=max(X1,X2). Note que
T2 = X1 + X2 - min(X1,X2),
pois max(a,b)=a+b-min(a,b).

Passo 5

Usando a linearidade da esperança e os resultados já obtidos,
E[T2] =E[X1]+E[X2]-E[min(X1,X2)] =1lambda1+1lambda2-1lambda1+lambda2

Resposta

(a) 1lambda1+lambda2.\n(b) 1lambda1+1lambda2-1lambda1+lambda2.

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