Através de experimentos estatisticos, determina-se que a duração de um certo tipo de chamada telefônica satisfaz a relação P(T>t)= =a e^-i t+(1-a) e^-zeta t, t >= 0, onde 0 <= a <= 1, lambda>0, zeta>0. Ache a média e a variância de T.

Passo 1

O enunciado diz que a função de sobrevivência de T é
P(T>t)=a,e^-lambda t+(1-a),e^-zeta t, t>=0,
onde 0<= a<=1, lambda>0, zeta>0. Queremos encontrar a média E[T] e a variância Var(T). Vamos usar a interpretação de mistura de exponenciais e as fórmulas de momento de uma variável positiva via integrais de sobrevivência.

Passo 2

Primeiro obtemos a densidade de T derivando a sobrevivência:
fT(t)=-ddtP(T>t) = a,lambda,e^-lambda t+(1-a),zeta,e^-zeta t, t>=0
Isso mostra que T é uma mistura de Exp(lambda) com peso a e Exp(zeta) com peso 1-a.

Passo 3

Para variáveis de mistura, a esperança é a mistura das esperanças:
E[T] = acdot1lambda+(1-a)cdot1zeta

Passo 4

O segundo momento de T também se mistura, pois para Exp(theta) vale E[T^2]=2/theta^2. Logo
E[T^2] = acdot2lambda^2+(1-a)cdot2zeta^2

Passo 5

Finalmente, a variância é
Var(T) =E[T^2]-(E[T])^2 =l(a2lambda^2+(1-a)2zeta^2r) -l(a1lambda+(1-a)1zetar)^2

Resposta

E[T]=a,1lambda+(1-a),1zeta,
Var(T)=a2lambda^2+(1-a)2zeta^2 -l(a1lambda+(1-a)1zetar)^2

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