Através de experimentos estatisticos, determina-se que a duração de um certo tipo de chamada telefônica satisfaz a relação
, onde
. Ache a média e a variância de
.
Passo 1
O enunciado diz que a função de sobrevivência de
é
onde
,
,
. Queremos encontrar a média
e a variância
. Vamos usar a interpretação de mistura de exponenciais e as fórmulas de momento de uma variável positiva via integrais de sobrevivência.
Passo 2
Primeiro obtemos a densidade de
derivando a sobrevivência:
Isso mostra que
é uma mistura de
com peso
e
com peso
.
Passo 3
Para variáveis de mistura, a esperança é a mistura das esperanças:
Passo 4
O segundo momento de
também se mistura, pois para
vale
. Logo
Passo 5
Finalmente, a variância é