Mostre que se
é uma variável aleatória tendo distribuição simétrica em torno de zero, e se
, então a distribuição condicional de
dado que
é igual à própria distribuição de
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma variável aleatória com distribuição simétrica em torno de zero e que
. Queremos mostrar que, para todo
, a função de distribuição condicional de
dado
coincide com a função de distribuição de
. Para isso vamos usar as definições de função de distribuição, probabilidade condicional e a propriedade de simetria.
Passo 2
Calculemos primeiro a função de distribuição não condicional de
. Para
,
Passo 3
Agora, a função de distribuição condicional de
dado
é
Passo 4
Pela simetria de
em torno de zero, temos
e
Logo, voltando a
,
E como
, na condicional vem
Passo 5
Concluímos que, para todo
,
isto é, a distribuição condicional de
dado
é igual à distribuição de
.
Resposta
A função de distribuição de
condicionada a
coincide com a função de distribuição de
, isto é,