Mostre que se X é uma variável aleatória tendo distribuição simétrica em torno de zero, e se P(X=0)=0, então a distribuição condicional de X^2 dado que X>0 é igual à própria distribuição de X^2.

Passo 1

O enunciado afirma que X é uma variável aleatória com distribuição simétrica em torno de zero e que P(X=0)=0. Queremos mostrar que, para todo y>=0, a função de distribuição condicional de X^2 dado X>0 coincide com a função de distribuição de X^2. Para isso vamos usar as definições de função de distribuição, probabilidade condicional e a propriedade de simetria.

Passo 2

Calculemos primeiro a função de distribuição não condicional de X^2. Para y>=0,
FX^2(y) = Pl(X^2 <= yr) = Pl(-raizy<= X<= raizyr) = FXl(raizyr)-FXl(-raizyr)

Passo 3

Agora, a função de distribuição condicional de X^2 dado X>0 é
FX^2mid X>0(y) = Pl(X^2<= y mid X>0r) = Pl(0<X<= raizyr)P(X>0) = FXl(raizyr)-FX(0)P(X>0)

Passo 4

Pela simetria de X em torno de zero, temos FX(0)=tfrac12 e
FX(-u)=1-FX(u) forall,u>0
Logo, voltando a FX^2(y),
FX^2(y) = FXl(raizyr)-l[1-FXl(raizyr)r] = 2,FXl(raizyr)-1
E como P(X>0)=tfrac12, na condicional vem
FX^2mid X>0(y) = FXl(raizyr)-tfrac12tfrac12 =2,FXl(raizyr)-1 =FX^2(y)

Passo 5

Concluímos que, para todo y>=0,
FX^2mid X>0(y)=FX^2(y),
isto é, a distribuição condicional de X^2 dado X>0 é igual à distribuição de X^2.

Resposta

A função de distribuição de X^2 condicionada a X>0 coincide com a função de distribuição de X^2, isto é,
FX^2mid X>0(y)=FX^2(y) forall,y>=0

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