Mostre que se X é uma variável aleatória tendo distribuição simétrica em torno de zero, e se P(X=0)=0, então a distribuição condicional de X^2 dado que X>0 é igual à própria distribuição de X^2.

Passo 1

O enunciado afirma que é uma variável aleatória com distribuição simétrica em torno de zero e que . Queremos mostrar que, para todo , a função de distribuição condicional de dado coincide com a função de distribuição de . Para isso vamos usar as definições de função de distribuição, probabilidade condicional e a propriedade de simetria.

Passo 2

Calculemos primeiro a função de distribuição não condicional de FX^2(y) = Pl(X^2 <= yr) = Pl(-raizy<= X<= raizyr) = FXl(raizyr)-FXl(-raizyr) . Para ,

Passo 3

Agora, a função de distribuição condicional de FX^2mid X>0(y) = Pl(X^2<= y mid X>0r) = Pl(00) = FXl(raizyr)-FX(0)P(X>0) dado é

Passo 4

Pela simetria de FX(-u)=1-FX(u) forall,u>0 em torno de zero, temos FX^2(y) = FXl(raizyr)-l[1-FXl(raizyr)r] = 2,FXl(raizyr)-1 e
FX^2mid X>0(y) = FXl(raizyr)-tfrac12tfrac12 =2,FXl(raizyr)-1 =FX^2(y)
Logo, voltando a ,
E como , na condicional vem

Passo 5

Concluímos que, para todo FX^2mid X>0(y)=FX^2(y), ,
isto é, a distribuição condicional de dado é igual à distribuição de .

Resposta

A função de distribuição de FX^2mid X>0(y)=FX^2(y) forall,y>=0 condicionada a coincide com a função de distribuição de , isto é,