Os eventos A e B são independentes. Sendo P\left(A B^{c}\right)=0,3 e P\left(A^{c} B\right)=0,2; obtenha P(A B).

Passo 1

O enunciado nos diz que A e B são independentes e fornece
P(A\cap B^{c}) = 0,3, \qquad P(A^{c}\cap B) = 0,2.
Queremos encontrar P(A\cap B). Vamos chamar
x = P(A\cap B).
Em seguida, expressamos P(A) e P(B) em função de x usando a partição do espaço.

Passo 2

Pela partição em torno de B, temos
P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c}) = x + 0,3.
Analogamente, pela partição em torno de A,
P(B)=P(A\cap B)+P(A^{c}\cap B) = x + 0,2.

Passo 3

Como A e B são independentes, vale
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Substituindo P(A)=x+0,3 e P(B)=x+0,2 obtemos
x = (x+0,3)(x+0,2).

Passo 4

Desenvolvendo e reorganizando dá-se
x = x^2 + 0,5x + 0,06 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 0,5x + 0,06 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x = \frac{0,5 \pm \sqrt{0,5^2 - 4\cdot1\cdot0,06}}{2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{0,25 - 0,24}}{2} = \frac{0,5 \pm 0,1}{2},
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x_1 = \frac{0,6}{2} = 0,3, \qquad x_2 = \frac{0,4}{2} = 0,2.

Passo 5

Precisamos verificar se ambas as soluções são admissíveis. Calculamos
P(A^{c}\cap B^{c}) = 1 - \bigl[P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})+P(A^{c}\cap B)\bigr] = 1 - (x + 0,3 + 0,2).
Para x=0,3 vem P(A^{c}\cap B^{c})=1-0,8=0,2\ge0.
Para x=0,2 vem P(A^{c}\cap B^{c})=1-0,7=0,3\ge0.
Ambos dão probabilidades não negativas e satisfazem independência.

Resposta

P(A\cap B) = 0,2 \quad\text{ou}\quad 0,3.

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