Com A, B e C eventos tais que P(A)=2 / 5, P(B)=1 / 4 e P\text{(C)}=1 / 2. Suponha ainda que P(A \cap B)=x, P(B \cup C)=y e P(C-A)=z.
a. Que condições devem satisfazer x, y e z ?
b. Em função de x, y e z, determine P(B-A), P(C-B) e P(A \cup C).
c. Com a suposição adicional de independência entre A, B e C, calcule x, y e z e, também, P(A \cup B \cup C).

Passo 1

O enunciado dá três eventos A,B,C com
P(A)=\tfrac{2}{5},\quad P(B)=\tfrac{1}{4},\quad P\text{(C)}=\tfrac{1}{2},
e define
x = P(A\cap B),\quad y = P(B\cup C),\quad z = P(C - A)=P(C\cap A^c).
Precisamos em (a) achar as condições que x,y,z satisfazem, em (b) expressar P(B-A),P(C-B),P(A\cup C) em termos de x,y,z, e em (c) sob independência calcular x,y,z e P(A\cup B\cup C).

Passo 2

Para x=P(A\cap B) vale a desigualdade geral
\max\bigl(0,\,P(A)+P(B)-1\bigr)\;\le\;P(A\cap B)\;\le\;\min\bigl(P(A),P(B)\bigr).
Substituindo P(A)=2/5 e P(B)=1/4 obtemos
\max\bigl(0,\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{4}-1\bigr)=0\;\le\;x\;\le\;\min(\tfrac{2}{5},\tfrac{1}{4})=\tfrac{1}{4}.

Passo 3

Para y=P(B\cup C) usamos
\max\bigl(P(B),P\text{(C)}\bigr)\;\le\;P(B\cup C)\;\le\;\min\bigl(1,\,P(B)+P\text{(C)}\bigr).
Com P(B)=1/4, P\text{(C)}=1/2 segue
\max(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2}\;\le\;y\;\le\;\min(1,\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2})=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Para z=P(C\cap A^c)=P\text{(C)}-P(A\cap C) note que
P(A\cap C)\in\bigl[\max(0,P(A)+P\text{(C)}-1),\,\min(P(A),P\text{(C)})\bigr]
\implies
P(A\cap C)\in[0,\;0.4]\quad\Longrightarrow\quad z=0.5 - P(A\cap C)\in[\,0.5-0.4,\;0.5-0\,]=[0.1,\;0.5].

Passo 5

Expressões em função de x,y,z:
  • P(B-A)=P(B\cap A^c)=P(B)-P(A\cap B)=\tfrac{1}{4}-x.
  • P(C-B)=P(C\cap B^c)=P\text{(C)}-P(B\cap C), mas
P(B\cap C)=P(B)+P\text{(C)}-P(B\cup C)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{2}-y=\tfrac{3}{4}-y,
logo P(C-B)=\tfrac{1}{2}-(\tfrac{3}{4}-y)=y-\tfrac{1}{4}.
  • P(A\cup C)=P(A)+P\text{(C)}-P(A\cap C)=\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{2}-\bigl(\tfrac{1}{2}-z\bigr)=\tfrac{2}{5}+z.

Passo 6

Sob independência P(A\cap B)=P(A)P(B), P(B\cap C)=P(B)P\text{(C)}, P(A\cap C)=P(A)P\text{(C)}. Assim
x=\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{10},\quad y=P(B\cup C)=1-(1-P(B))(1-P\text{(C)})=1-\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{8},
z=P(C\cap A^c)=P\text{(C)}\bigl(1-P(A)\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{5}=\tfrac{3}{10}.
E
P(A\cup B\cup C) =1 - P(A^c\cap B^c\cap C^c) =1-(1-P(A))(1-P(B))(1-P\text{(C)}) =1-\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{31}{40}.

Resposta

a. 0\le x\le\tfrac{1}{4},\quad\tfrac{1}{2}\le y\le\tfrac{3}{4},\quad\tfrac{1}{10}\le z\le\tfrac{1}{2}.
b. P(B-A)=\tfrac{1}{4}-x,\quad P(C-B)=y-\tfrac{1}{4},\quad P(A\cup C)=\tfrac{2}{5}+z.
c. x=\tfrac{1}{10},\;y=\tfrac{5}{8},\;z=\tfrac{3}{10},\quad P(A\cup B\cup C)=\tfrac{31}{40}.

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