Sendo P(A)=1 / 2 e P(A \cup B)=3 / 4, obtenha P(B) nos seguintes casos: a. A e B são independentes.
b. A e B são disjuntos.
c. A está contido em B.

Passo 1

O enunciado dá P(A)=\tfrac12 e P(A\cup B)=\tfrac34 e pede P(B) nos casos: (a) A e B independentes; (b) A e B disjuntos; (c) A\subseteq B. Para isso vamos usar o teorema da união de dois eventos.

Passo 2

Para quaisquer eventos A e B vale
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Rearranjando, obtemos
P(B)=P(A\cup B)-P(A)+P(A\cap B) =\tfrac34-\tfrac12+P(A\cap B) =\tfrac14+P(A\cap B).

Passo 3

Caso (a): A e B são independentes. Então
P(A\cap B)=P(A)\,P(B)=\tfrac12\,P(B).
Substituindo em P(B)=\tfrac14+P(A\cap B)
P(B)=\tfrac14+\tfrac12\,P(B) \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12\,P(B)=\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad P(B)=\tfrac12.

Passo 4

Caso (b): A e B são disjuntos. Então
P(A\cap B)=0
e
P(B)=\tfrac14+0=\tfrac14.

Passo 5

Caso (c): A\subseteq B. Então o encontro é A, isto é
P(A\cap B)=P(A)=\tfrac12
e
P(B)=\tfrac14+\tfrac12=\tfrac34.

Resposta

(a) \tfrac12
(b) \tfrac14
(c) \tfrac34

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