Para A e B eventos em ( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} ), mostre que:
Se P(A)=P(B)=2 / 3, então P(A \mid B) \geq 1 / 2.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são eventos num espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},P) com
P(A)=\frac{2}{3}, \quad P(B)=\frac{2}{3},
e pede para mostrar que
P(A\mid B)\ge \frac12.
Para isso, vamos usar a fórmula da probabilidade da união e a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Pela fórmula da união de dois eventos temos
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B).
Como A\cup B\subseteq\Omega e P(\Omega)=1, segue
P(A) + P(B) - P(A\cap B)\le 1 \quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.
Substituindo P(A)=P(B)=\tfrac23, obtemos
P(A\cap B)\ge \frac23 + \frac23 - 1 = \frac13.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \ge \frac{\tfrac13}{\tfrac23} = \frac12.

Resposta

P(A\mid B)\ge \frac12.

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