Uma moeda é lançada duas vezes e seja
o espaço amostral correspondendo à quantidade de caras nos dois lançamentos. Considere a função que atribui
a cada um dos pontos de
e admita que ela é aditiva para a união de conjuntos disjuntos. Nessa condições, teríamos uma probabilidade em
?
Passo 1
O enunciado diz que estamos olhando apenas para o número de caras em dois lançamentos de moeda, de modo que o espaço amostral reduzido é
.
Definimos uma função em
que atribui
Definimos uma função
e assumimos que
é aditiva sobre uniões de conjuntos disjuntos.
O conteúdo aqui é verificar se satisfaz os três axiomas de uma medida de probabilidade finita (positividade, normalização e aditividade).
O conteúdo aqui é verificar se
Passo 2
Positividade: por hipótese cada ponto recebe valor
, que é não–negativo.
Logo, para qualquer evento , como
Logo, para qualquer evento
temos
.
Passo 3
Normalização: devemos ter
.
Pela aditividade finita e pelos valores em cada ponto,
Pela aditividade finita e pelos valores em cada ponto,
Passo 4
Aditividade finita: foi dada como hipótese que
é aditiva para uniões de conjuntos disjuntos, ou seja, sempre que
,
Isso é exatamente o terceiro axioma de Kolmogorov para uma medida de probabilidade num espaço finito.
Passo 5
Como
satisfaz positividade, normalização e aditividade finita, concluímos que
é um espaço de probabilidade.
Observação: trata-se de uma distribuição uniforme sobre
, que não coincide com a lei binomial do número de caras em dois lançamentos de moeda (onde teríamos
e
).
Resposta
Sim. A função dada satisfaz os axiomas de probabilidade em
, logo é uma medida de probabilidade.