Uma moeda é lançada duas vezes e seja \Omega=\{0,1,2\} o espaço amostral correspondendo à quantidade de caras nos dois lançamentos. Considere a função que atribui 1 / 3 a cada um dos pontos de \Omega e admita que ela é aditiva para a união de conjuntos disjuntos. Nessa condições, teríamos uma probabilidade em \Omega_{p} ?

Passo 1

O enunciado diz que estamos olhando apenas para o número de caras em dois lançamentos de moeda, de modo que o espaço amostral reduzido é
\Omega = \{0,1,2\}.
Definimos uma função P em \Omega que atribui
P(\{0\}) = P(\{1\}) = P(\{2\}) = \tfrac{1}{3}
e assumimos que P é aditiva sobre uniões de conjuntos disjuntos.
O conteúdo aqui é verificar se P satisfaz os três axiomas de uma medida de probabilidade finita (positividade, normalização e aditividade).

Passo 2

Positividade: por hipótese cada ponto recebe valor \tfrac{1}{3}, que é não–negativo.
Logo, para qualquer evento A\subseteq\Omega, como
P(A)=\sum_{\omega\in A}P(\{\omega\}),
temos P(A)\ge0.

Passo 3

Normalização: devemos ter P(\Omega)=1.
Pela aditividade finita e pelos valores em cada ponto,
P(\Omega) = P(\{0\}) + P(\{1\}) + P(\{2\}) = \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{3} =1.

Passo 4

Aditividade finita: foi dada como hipótese que P é aditiva para uniões de conjuntos disjuntos, ou seja, sempre que A\cap B=\varnothing,
P(A\cup B)=P(A)+P(B).
Isso é exatamente o terceiro axioma de Kolmogorov para uma medida de probabilidade num espaço finito.

Passo 5

Como P satisfaz positividade, normalização e aditividade finita, concluímos que (\Omega,2^\Omega,P) é um espaço de probabilidade.
Observação: trata-se de uma distribuição uniforme sobre \{0,1,2\}, que não coincide com a lei binomial do número de caras em dois lançamentos de moeda (onde teríamos P(1)=\tfrac12 e P(0)=P(2)=\tfrac14).

Resposta

Sim. A função dada satisfaz os axiomas de probabilidade em \Omega=\{0,1,2\}, logo é uma medida de probabilidade.

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