Fregueses entram em um supermercado conforme um processo de Poisson com paràmetro i. Há luz no supermercado enquanto nāo queima um fusivel instalado no tempo t=0, e cuja vida úțil T tem distribuição exponencial com parâmetro xi. Qual o número esperado de fregueses que entram no supermercado enquanto há luz? (Suponha T independente do processo de Poisson.)

Passo 1

O enunciado descreve chegadas de fregueses num supermercado segundo um processo de Poisson com taxa de chegada TsimExp(xi), . Um fusível que mantém a luz acesa tem vida útil distribuída exponencialmente com parâmetro , ou seja,
e é independente do processo de Poisson. Queremos o número esperado de fregueses que entram até o instante em que o fusível queima, isto é, até o tempo .

Passo 2

Para um tempo fixo N(t)simPoisson(i,t), , o número de chegadas El[N(t)r]=i,t num processo de Poisson com taxa satisfaz
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Passo 3

Como El[N(T)r] =El[El[N(T)mid Tr]r] =El[i,Tr] =i,E[T] é aleatório, usamos a lei da expectativa total:

Passo 4

Para E[T]=1xi , sabemos que
El[N(T)r] =icdot1xi =ixi
Substituindo em , obtemos

Resposta

O número esperado de fregueses que entram enquanto há luz é .

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