Fregueses entram em um supermercado conforme um processo de Poisson com paràmetro i. Há luz no supermercado enquanto nāo queima um fusivel instalado no tempo t=0, e cuja vida úțil T tem distribuição exponencial com parâmetro xi. Qual o número esperado de fregueses que entram no supermercado enquanto há luz? (Suponha T independente do processo de Poisson.)

Passo 1

O enunciado descreve chegadas de fregueses num supermercado segundo um processo de Poisson com taxa de chegada i. Um fusível que mantém a luz acesa tem vida útil T distribuída exponencialmente com parâmetro xi, ou seja,
TsimExp(xi),
e é independente do processo de Poisson. Queremos o número esperado de fregueses que entram até o instante em que o fusível queima, isto é, até o tempo T.

Passo 2

Para um tempo fixo t, o número de chegadas N(t) num processo de Poisson com taxa i satisfaz
N(t)simPoisson(i,t),
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El[N(t)r]=i,t

Passo 3

Como T é aleatório, usamos a lei da expectativa total:
El[N(T)r] =El[El[N(T)mid Tr]r] =El[i,Tr] =i,E[T]

Passo 4

Para TsimExp(xi), sabemos que
E[T]=1xi
Substituindo em i,E[T], obtemos
El[N(T)r] =icdot1xi =ixi

Resposta

O número esperado de fregueses que entram enquanto há luz é ixi.

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