Uma certa lâmpada tem uma vida. em horas, tendo distribuição exponencial de parâmetro 1. Um jogador acende a låmpada e. enquanto a lämpada ainda estiver acesa, lança um dado equilibrado de quinze em quinze segundos. Qual o numero esperado de 3’s lançados pelo jogador até a lâmpada sé apagar?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida T da lâmpada, em horas, é uma variável aleatória exponencial de parâmetro 1, ou seja
TsimExp(1), fT(t)=e^-t,;t>=0
Enquanto a lâmpada estiver acesa, a cada 15 segundos o jogador lança um dado equilibrado e conta quantos nº de 3'sº saem. Precisamos encontrar
E[nº de 3's até T] ºé

Passo 2

Transformamos o intervalo de 15 segundos em horas:
De<a = 153600 = 1240 horas
Os lançamentos ocorrem nos instantes tk = k,De<a, k=1,2,dots.

Passo 3

Seja M o número de lançamentos efetuados até o apagamento da lâmpada. Então
M = maxk: kDe<a <= T \r
e
E[M] = sumk=1^inftyP(M>= k) = sumk=1^inftyP(T>= kDe<a) = sumk=1^inftye^-k/240 \r
Essa soma é uma série geométrica com razão e^-1/240, logo
E[M] = e^-1/2401 - e^-1/240 = 1e^1/240-1

Passo 4

Em cada lançamento, a chance de sair 3 é 1/6, independentemente dos demais. Pelo princípio da esperança de soma condicional,
E[nº de 3's] = 16,E[M] º

Passo 5

Substituindo E[M], obtemos
E[nº de 3's] = 16,1e^1/240-1 = 16l(e^1/240-1r) º

Resposta

E[nº de 3's] = 16l(e^1/240-1r) º

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