Uma certa lâmpada tem uma vida. em horas, tendo distribuição exponencial de parâmetro 1. Um jogador acende a låmpada e. enquanto a lämpada ainda estiver acesa, lança um dado equilibrado de quinze em quinze segundos. Qual o numero esperado de 3’s lançados pelo jogador até a lâmpada sé apagar?
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de vida
da lâmpada, em horas, é uma variável aleatória exponencial de parâmetro
, ou seja
Enquanto a lâmpada estiver acesa, a cada
segundos o jogador lança um dado equilibrado e conta quantos
saem. Precisamos encontrar
Passo 2
Transformamos o intervalo de
segundos em horas:
Os lançamentos ocorrem nos instantes
,
.
Passo 3
Seja
o número de lançamentos efetuados até o apagamento da lâmpada. Então
e
Essa soma é uma série geométrica com razão
, logo
Passo 4
Em cada lançamento, a chance de sair
é
, independentemente dos demais. Pelo princípio da esperança de soma condicional,
Passo 5
Substituindo
, obtemos