Uma exposição funciona pelo periodo de
horas. Visitantes chegam à exposição segundo um processo de Poisson com taxa
visitantes/hora. Os visitantes permanecem na exposição até o fim do periodo. Calcule o tempo médio total gasto pelos visitantes na exposição. (Sugestão. Dado que chegou um só visitante durante as
horas, qual a média do tempo que ele permanece na exposição?)
Passo 1
O enunciado diz que visitantes chegam num processo de Poisson com taxa
(visitantes/hora) ao longo de um período de duração
horas, e cada visitante permanece até o fim desse período. Queremos a esperança do tempo total gasto por todos os visitantes na exposição. Vamos usar propriedades de processo de Poisson e de tempos de chegada condicionados.
Passo 2
Seja
o número de chegadas em
. Sabemos que
logo
. Condicional em
, os tempos de chegada
são i.i.d.\ e uniformes em
.
Passo 3
Dado um único visitante que chegou em tempo
, o tempo que ele permanece até o fim é
. Como
é uniforme em
, tem-se
Portanto, cada visitante gasta em média
horas na exposição.
Passo 4
Pela linearidade da esperança, o tempo total gasto por todos os visitantes vale