Uma exposição funciona pelo periodo de T horas. Visitantes chegam à exposição segundo um processo de Poisson com taxa dotlambda visitantes/hora. Os visitantes permanecem na exposição até o fim do periodo. Calcule o tempo médio total gasto pelos visitantes na exposição. (Sugestão. Dado que chegou um só visitante durante as T horas, qual a média do tempo que ele permanece na exposição?)

Passo 1

O enunciado diz que visitantes chegam num processo de Poisson com taxa (visitantes/hora) ao longo de um período de duração horas, e cada visitante permanece até o fim desse período. Queremos a esperança do tempo total gasto por todos os visitantes na exposição. Vamos usar propriedades de processo de Poisson e de tempos de chegada condicionados.

Passo 2

Seja N sim Poisson(dotlambda T), o número de chegadas em . Sabemos que
logo . Condicional em , os tempos de chegada são i.i.d.\ e uniformes em .

Passo 3

Dado um único visitante que chegou em tempo E[T - t] = 1T integral0^T (T - t) , dt = T2 , o tempo que ele permanece até o fim é . Como é uniforme em , tem-se
Portanto, cada visitante gasta em média horas na exposição.

Passo 4

Pela linearidade da esperança, o tempo total gasto por todos os visitantes vale
El[totalr] =E[N]timesT2 =(dotlambdaT)T2 =dotlambdaT^22

Resposta

dotlambda,T^22