Indique para quais valores de
, a função abaixo é densidade.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para quais valores de
isso é densidade de probabilidade conjunta.
Para ser densidade, precisamos de duas coisas:
Para ser densidade, precisamos de duas coisas:
-
. -
para todo em .
Passo 2
Vamos verificar a normalização. Como o indicador restringe
a
,
Separamos em duas integrais:
Calculamos
e do mesmo modo
. Logo
Portanto a condição de integral igual a
vale para qualquer
.
Passo 3
Agora vamos à não-negatividade:
Note que, em
, o termo
varia de
(em
) até
(em
).
Logo o produto
Logo o produto
varia em todo o intervalo
.
Assim a desigualdade deve valer para o pior caso, ou seja para e para
:
Assim a desigualdade deve valer para o pior caso, ou seja para
- Se
, implica . - Se
, implica .