Indique para quais valores de \alpha, a função abaixo é densidade.
f(x, y)=(1-\alpha(1-2 x)(1-2 y)) I_{(0,1)}(x) I_{(0,1)}(y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\bigl(1-\alpha(1-2x)(1-2y)\bigr)\,I_{(0,1)}(x)\,I_{(0,1)}(y)
e pede para quais valores de \alpha isso é densidade de probabilidade conjunta.
Para ser densidade, precisamos de duas coisas:
  1. \displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy=1.
  2. f(x,y)\ge0 para todo (x,y) em (0,1)\times(0,1).

Passo 2

Vamos verificar a normalização. Como o indicador restringe (x,y) a [0,1]^2,
\iint f(x,y)\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(1-\alpha(1-2x)(1-2y)\bigr)\,dx\,dy.
Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}1\,dx\,dy \;-\;\alpha\int_{0}^{1}(1-2x)\,dx\;\int_{0}^{1}(1-2y)\,dy.
Calculamos
\int_{0}^{1}(1-2x)\,dx =\Bigl[x - x^{2}\Bigr]_{0}^{1} =1-1=0,
e do mesmo modo \int_{0}^{1}(1-2y)\,dy=0. Logo
\iint f(x,y)\,dx\,dy=1-\alpha\cdot0\cdot0=1.
Portanto a condição de integral igual a 1 vale para qualquer \alpha.

Passo 3

Agora vamos à não-negatividade:
1-\alpha(1-2x)(1-2y)\ge0 \quad\forall\,x,y\in(0,1).
Note que, em [0,1], o termo (1-2x) varia de 1 (em x=0) até -1 (em x=1).
Logo o produto
h(x,y)=(1-2x)(1-2y)
varia em todo o intervalo [-1,1].
Assim a desigualdade deve valer para o pior caso, ou seja para h=1 e para h=-1:
  • Se h=1, 1-\alpha\cdot1\ge0 implica \alpha\le1.
  • Se h=-1, 1-\alpha\cdot(-1)=1+\alpha\ge0 implica \alpha\ge-1.

Resposta

\alpha\in[-1,1].

Exercícios de Livros Relacionados