Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 3. Duas retiradas são feitas sem reposição. Defina as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado. Obtenha a conjunta dessas variáveis e verifique se são independentes.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 3 e fazemos duas retiradas sem reposição. Definimos as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado nas duas retiradas. O conteúdo aqui é distribuição de probabilidade discreta conjunta e independência de variáveis aleatórias. Vamos (1) listar os possíveis resultados, (2) obter p_{X,Y}(x,y), (3) calcular as marginais p_X e p_Y e (4) testar se p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_Y(y) em todos os pontos.
Passo 2
Nas retiradas sem reposição de duas bolas de \{1,2,3\} temos 3\times2=6 resultados ordenados igualmente prováveis: \,(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).
Em cada caso definimos
X=\min(i,j),\quad Y=\max(i,j).
Os pares possíveis (X,Y) são (1,2),(1,3),(2,3). Cada um aparece em exatamente dois resultados ordenados, logo