Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 3. Duas retiradas são feitas sem reposição. Defina as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado. Obtenha a conjunta dessas variáveis e verifique se são independentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com bolas numeradas de 1 a 3 e fazemos duas retiradas sem reposição. Definimos as variáveis X e Y como, respectivamente, o menor e o maior valor observado nas duas retiradas. O conteúdo aqui é distribuição de probabilidade discreta conjunta e independência de variáveis aleatórias. Vamos (1) listar os possíveis resultados, (2) obter p_{X,Y}(x,y), (3) calcular as marginais p_X e p_Y e (4) testar se p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_Y(y) em todos os pontos.

Passo 2

Nas retiradas sem reposição de duas bolas de \{1,2,3\} temos 3\times2=6 resultados ordenados igualmente prováveis:
\,(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2).
Em cada caso definimos
X=\min(i,j),\quad Y=\max(i,j).
Os pares possíveis (X,Y) são (1,2),(1,3),(2,3). Cada um aparece em exatamente dois resultados ordenados, logo
p_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \frac{2}{6}=\frac{1}{3},& (x,y)\in\{(1,2),(1,3),(2,3)\},\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Calculamos as distribuições marginais somando sobre a outra variável:
p_X(1)=p_{X,Y}(1,2)+p_{X,Y}(1,3) =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},\quad p_X(2)=p_{X,Y}(2,3)=\tfrac{1}{3}.
p_Y(2)=p_{X,Y}(1,2)=\tfrac{1}{3},\quad p_Y(3)=p_{X,Y}(1,3)+p_{X,Y}(2,3) =\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Para checar independência verificamos se existe (x,y) tal que
p_{X,Y}(x,y)\neq p_X(x)\,p_Y(y).
Por exemplo, em (x,y)=(1,2) temos
p_{X,Y}(1,2)=\tfrac{1}{3}, \quad p_X(1)\,p_Y(2)=\tfrac{2}{3}\times\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{9},
e \tfrac{1}{3}\neq\tfrac{2}{9}. Logo X e Y não são independentes.

Resposta

p_{X,Y}(x,y) =\begin{cases} \frac{1}{3},& (x,y)\in\{(1,2),(1,3),(2,3)\},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e X e Y não são independentes.

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